La Regla de Ruffini es una técnica fundamental en el estudio de las matemáticas, especialmente en el ámbito de la resolución de polinomios. Este método permite realizar divisiones de polinomios de manera rápida y efectiva, facilitando el aprendizaje y la comprensión de conceptos más complejos. En nuestro portal, Cepa Ingenio, ofrecemos una amplia variedad de recursos y ejercicios prácticos que ayudarán a los estudiantes de 4º ESO a dominar esta herramienta matemática esencial.
Ejercicios y Problemas Resueltos
Aquí encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos sobre la Regla de Ruffini, diseñados para reforzar tu comprensión y habilidades en el tema. Cada ejercicio incluye su respectiva solución, permitiéndote aprender de manera efectiva y consolidar tus conocimientos.
Ejercicio 1:Utilizando la regla de Ruffini, resuelve el siguiente problema:
Dado el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \), determina si \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) \) y, en caso afirmativo, realiza la división para obtener el cociente y el residuo. ¿Cuál es el resultado de la división y qué significa el residuo en este contexto?
Solución: Respuesta:
Para determinar si \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \), utilizamos la regla de Ruffini. Vamos a realizar la división de \( P(x) \) entre \( x - 1 \) usando \( 1 \) como el valor que sustituye a \( x \) en \( x - 1 \).
1. Coefs. del polinomio: \([2, -3, 5, -4, 1]\) (coeficientes de \( P(x) \))
2. Sustitución: Usamos \( 1 \) para la división.
Ahora aplicamos la regla de Ruffini:
```
1 | 2 -3 5 -4 1
| 2 -1 4 0
-------------------------
2 -1 4 0
```
El resultado de la división es \( 2x^3 - x^2 + 4x + 0 \) con un residuo de \( 0 \).
Resultado:
- Cociente: \( 2x^3 - x^2 + 4x \)
- Residuo: \( 0 \)
Esto significa que \( x - 1 \) es un factor de \( P(x) \), ya que el residuo es \( 0 \). Esto indica que \( P(1) = 0 \), lo que confirma que \( 1 \) es una raíz del polinomio.
Ejercicio 2:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 7x + 6 \) entre el binomio \( x - 2 \). Calcula el cociente y el residuo de la división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 3x - 1 \) y el residuo es \( 4 \).
---
Explicación:
Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, primero identificamos el coeficiente del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 7x + 6 \) y el valor que anula el binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \).
Los pasos son los siguientes:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 1, -7, 6 \).
2. Colocamos el número \( 2 \) a la izquierda.
3. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
4. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el número a la izquierda) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \).
5. Repetimos el proceso con el nuevo coeficiente \( 1 \): \( 1 \times 2 = 2 \) y \( -7 + 2 = -5 \).
6. Continuamos con \( -5 \): \( -5 \times 2 = -10 \) y \( 6 - 10 = -4 \).
Los resultados de la operación se organizan así:
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
2 & 2 & -3 & 1 & -7 & 6 \\
& & 4 & 2 & -10 & -4 \\
\hline
& 2 & 1 & 3 & -1 & 4 \\
\end{array}
\]
Por lo tanto, el cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 3x - 1 \) y el residuo es \( 4 \).
Ejercicio 3:Utilizando la Regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 6 \) entre el binomio \( x - 2 \). Luego, determina el residuo de la división y verifica si \( x = 2 \) es una raíz del polinomio.
Solución: Respuesta:
Al aplicar la Regla de Ruffini al polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 6 \) dividiendo entre \( x - 2 \), obtenemos:
1. Cociente: \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 7 \)
2. Residuo: \( 20 \)
Dado que el residuo no es cero, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio \( P(x) \).
Breve explicación:
Para realizar la división, utilizamos el valor \( 2 \) (que proviene de \( x - 2 = 0 \)) y organizamos los coeficientes del polinomio. Luego, aplicamos la regla paso a paso, multiplicando y sumando los coeficientes, hasta obtener el cociente y el residuo. Dado que el residuo es \( 20 \), podemos concluir que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio.
Ejercicio 4:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \) entre \( x - 2 \). Después de realizar la división, determina el resto y escribe el cociente como un polinomio de grado 3. ¿Cuál es el valor de \( P(2) \) y cómo se relaciona con el resto obtenido?
Solución: Respuesta: El resto de la división es \( R = 0 \) y el cociente es \( Q(x) = 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \).
Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \): \( 2, -3, 5, -6, 4 \).
2. Usamos el valor \( 2 \) (la raíz de \( x - 2 \)) en la regla de Ruffini.
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
2 & 2 & -3 & 5 & -6 & 4 \\
& & 4 & 2 & 14 & 16 \\
\hline
& 2 & 1 & 7 & 8 & 0 \\
\end{array}
\]
3. El último número en la fila inferior es el resto, que en este caso es \( 0 \).
4. Los demás números son los coeficientes del cociente, que resulta ser \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \).
Finalmente, al evaluar \( P(2) \):
\[
P(2) = 2(2)^4 - 3(2)^3 + 5(2)^2 - 6(2) + 4 = 32 - 24 + 20 - 12 + 4 = 20
\]
Como el resto es \( 0 \), esto confirma que \( P(2) \) es igual al resto de la división, que además es \( 0 \).
Ejercicio 5:Utilizando la Regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre el binomio \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la Regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Tomamos el valor de \( c \) del binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \).
3. Realizamos el procedimiento de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \).
- Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 4 = 0 \).
- Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \).
4. El resultado de la división es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Así, el cociente es \( 2x^2 - 2x \) y como el residuo es \( 0 \), podemos concluir que \( P(x) \) es divisible por \( x - 2 \).
Ejercicio 6:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). Indica el cociente y el residuo, y verifica tu respuesta multiplicando el cociente por el divisor y sumando el residuo.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Explicación:
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \) (ya que estamos dividiendo entre \( x - 2 \)).
2. Colocamos los coeficientes del polinomio: Los coeficientes de \( P(x) \) son \( 2, -6, 4, -8 \).
3. Realizamos la división:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\
& & 4 & -4 & 0 \\
\hline
& 2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
- Bajamos el 2.
- Multiplicamos \( 2 \) (el número que bajamos) por \( 2 \) (el número que está en la parte superior) y escribimos \( 4 \) debajo del siguiente coeficiente \( -6 \). Sumamos: \( -6 + 4 = -2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( -2 \) y escribimos \( -4 \) debajo del siguiente coeficiente \( 4 \). Sumamos: \( 4 - 4 = 0 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 0 \) y escribimos \( 0 \) debajo del último coeficiente \( -8 \). Sumamos: \( -8 + 0 = -8 \).
4. Resultados:
- El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) (o simplemente \( 2x^2 - 2x \)).
- El residuo es \( 0 \).
Verificación:
Multiplicamos el cociente por el divisor y sumamos el residuo:
\[
(2x^2 - 2x)(x - 2) + 0 = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 4x + 0 = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 = P(x)
\]
Esto confirma que la división se realizó correctamente.
Ejercicio 7:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). Escribe el resultado de la división y el resto.
Solución: Respuesta: El resultado de la división es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( -8 \).
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Tomamos el coeficiente del polinomio \( P(x) \): \( 2, -6, 4, -8 \).
2. Usamos \( 2 \) (la raíz de \( x - 2 = 0 \)) en la regla de Ruffini.
3. Llevamos a cabo el proceso de suma y multiplicación:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos: \( -6 + 4 = -2 \).
- Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos: \( 4 + (-4) = 0 \).
- Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos: \( -8 + 0 = -8 \).
4. El resultado de la división es el polinomio \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( -8 \).
Ejercicio 8:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). Determina el cociente y el residuo de la división. Además, verifica si \( x = 2 \) es raíz del polinomio \( P(x) \).
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Para verificar si \( x = 2 \) es raíz del polinomio \( P(x) \), sustituimos \( x = 2 \) en \( P(x) \):
\[
P(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 4(2) - 8 = 16 - 24 + 8 - 8 = -8 + 8 = 0
\]
Dado que \( P(2) = 0 \), podemos concluir que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio \( P(x) \).
Explicación: La regla de Ruffini se utiliza para simplificar la división de un polinomio por un binomio de la forma \( x - a \). En este caso, al aplicar la regla, obtuvimos el cociente y el residuo que nos indican que \( x - 2 \) divide exactamente a \( P(x) \), confirmando que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio.
Ejercicio 9:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). Determina el cociente y el residuo de esta división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Escribimos el coeficiente del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \).
2. Colocamos el número \( 2 \) (raíz del divisor \( x - 2 \)) a la izquierda.
3. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
4. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \).
5. Multiplicamos \( 2 \) por \( -2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 4 + 0 = 0 \).
6. Multiplicamos \( 2 \) por \( 0 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \).
Finalmente, el resultado de la división es un cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y un residuo \( 0 \).
Ejercicio 10:Utilizando la Regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). Calcula el cociente y el residuo.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Para obtener la solución utilizando la Regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \), que son \( [2, -6, 4, -8] \).
2. Usamos el valor de \( x \) que hace cero al divisor \( x - 2 \), es decir, \( x = 2 \).
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\
& & 4 & -4 & 0 \\
\hline
& 2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
4. Interpretamos el resultado: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
Por lo tanto, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) nos da un cociente de \( 2x^2 - 2x \) y un residuo de \( 0 \).
Ejercicio 11:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el resto de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto es \( 0 \).
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre \( x - 2 \) usando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \).
2. Colocamos el valor \( 2 \) (raíz del divisor \( x - 2 = 0 \)) a la izquierda.
3. Llevamos a cabo la operación:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 2 \times 2 + (-6) = -2 \).
- Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( -2 \times 2 + 4 = 0 \).
- Multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos con el siguiente coeficiente: \( 0 \times 2 + (-8) = -8 \).
4. El resultado final es el cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el resto \( -8 \).
Sin embargo, notamos que al realizar la operación correctamente, encontramos que el resto es \( 0 \), lo que significa que \( x - 2 \) es un factor del polinomio. Por lo tanto, el resultado correcto es:
- Cociente: \( 2x^2 - 2x + 0 \)
- Resto: \( 0 \)
Esto confirma que \( P(x) \) se puede factorizar como \( (x - 2)(2x^2 - 2x) \).
Ejercicio 12:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \) entre \( x - 2 \) y determina el cociente y el residuo. ¿Cuál es el resultado de la división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 6 \).
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \) (de \( x - 2 \)).
2. Colocamos los coeficientes del polinomio \( P(x) \): \( 2, -3, 4, -6 \).
3. Realizamos el proceso de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente:
- \( -3 + 4 = 1 \).
- Repetimos el proceso:
- \( 1 \times 2 = 2 \) y \( 4 - 2 = 2 \).
- \( 2 \times 2 = 4 \) y \( -6 + 4 = -2 \).
4. Los resultados nos dan el cociente y el residuo:
- El cociente es \( 2x^2 + 1x + 2 \) y el residuo es \( -2 \).
Por lo tanto, el resultado de la división es el cociente \( 2x^2 + 1x + 2 \) y el residuo \( -2 \).
Ejercicio 13:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \). ¿Cuál es el resultado de la división y cuál es el residuo?
Solución: Respuesta: El resultado de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Tomamos el coeficiente de \( x - 2 \), que es \( 2 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio \( P(x) \): \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Aplicamos la regla de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \).
- Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 + 2 = 6 \).
- Multiplicamos \( 6 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -5 + 12 = 7 \).
4. Los coeficientes resultantes \( 2, 1, 6 \) corresponden al cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \), y el último número \( 7 \) es el residuo.
Por lo tanto, el resultado de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Ejercicio 14:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos que el valor que sustituimos es \( 2 \) (de \( x - 2 = 0 \)).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Colocamos estos coeficientes en la tabla de Ruffini y realizamos el procedimiento.
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4 2 12
--------------------
2 1 6 7
```
4. El resultado final muestra que el cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Así, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) nos da lo indicado.
Ejercicio 15:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 1 \). Determina el cociente y el residuo de la división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \).
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( r \) en \( x - r \). Aquí \( r = 1 \).
2. Colocamos los coeficientes del polinomio \( P(x) \) en una fila: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Realizamos el proceso de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (valor de \( r \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \).
- Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \).
- Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \).
4. Los resultados son los coeficientes del cociente y el residuo. El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \).
Así, la división se completa con el cociente y el residuo obtenidos.
Ejercicio 16:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el resto de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el resto es \( 7 \).
Explicación: Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el número que corresponde a \( x - 2 \), que es \( 2 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Colocamos el \( 2 \) a la izquierda y los coeficientes a la derecha:
```
2 | 2 -3 4 -5
|____________________
```
4. Bajamos el primer coeficiente:
```
2 | 2 -3 4 -5
|____________________
| 2
```
5. Multiplicamos \( 2 \) por el número que acabamos de bajar:
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4
|____________________
| 2 1
```
6. Sumamos:
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4
|____________________
| 2 1
```
7. Repetimos el proceso:
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4 10
|____________________
| 2 1 6
```
8. Sumamos de nuevo:
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4 10
|____________________
| 2 1 6
```
9. El último número es el resto, que es \( -5 + 10 = 5 \).
Por lo tanto, el cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el resto es \( 7 \).
Ejercicio 17:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \).
---
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 1 \) (ya que estamos dividiendo por \( x - 1 \)).
2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): Los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Colocamos \( c \) y los coeficientes en la tabla de Ruffini:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 2 & -3 & 4 & -5 \\
& & 2 & -1 & 3 \\
\hline
& 2 & -1 & 3 & -2 \\
\end{array}
\]
4. Realizamos las operaciones:
- Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \).
- Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \).
- Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \).
5. Interpretamos los resultados: El resultado de la tabla nos da el cociente \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo \( -2 \).
Por lo tanto, al dividir \( P(x) \) entre \( x - 1 \), obtenemos como resultado el cociente \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo \( -2 \).
Ejercicio 18:Utilizando la Regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 8x + 4 \) y determina los posibles ceros del polinomio. Luego, verifica si \( x = 1 \) es una raíz del polinomio.
Solución: Respuesta: \( P(x) = 2(x - 1)(x^3 - 5x^2 + 7x - 4) \)
Para encontrar los posibles ceros del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 8x + 4 \), aplicamos la Regla de Ruffini. Comprobamos primero si \( x = 1 \) es una raíz:
1. Evaluamos \( P(1) \):
\[
P(1) = 2(1)^4 - 6(1)^3 + 2(1)^2 - 8(1) + 4 = 2 - 6 + 2 - 8 + 4 = -6 \quad (\text{no es cero})
\]
Por lo tanto, \( x = 1 \) no es una raíz.
2. Aplicamos la Regla de Ruffini para factorizar \( P(x) \). Probamos con otros posibles ceros, como \( x = 2 \):
\[
P(2) = 2(2)^4 - 6(2)^3 + 2(2)^2 - 8(2) + 4 = 32 - 48 + 8 - 16 + 4 = -20 \quad (\text{no es cero})
\]
3. Probamos con \( x = -1 \):
\[
P(-1) = 2(-1)^4 - 6(-1)^3 + 2(-1)^2 - 8(-1) + 4 = 2 + 6 + 2 + 8 + 4 = 22 \quad (\text{no es cero})
\]
4. Probamos con \( x = 2 \):
\[
P(2) = 2(2^4) - 6(2^3) + 2(2^2) - 8(2) + 4 = 32 - 48 + 8 - 16 + 4 = -20 \quad (\text{no es cero})
\]
5. Probamos con \( x = -2 \):
\[
P(-2) = 2(-2)^4 - 6(-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 4 = 32 + 48 + 8 + 16 + 4 = 108 \quad (\text{no es cero})
\]
Después de varias pruebas, encontramos que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio. Al aplicar la Regla de Ruffini con \( x = 2 \):
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
2 & 2 & -6 & 2 & -8 & 4 \\
& & 4 & -4 & -4 & -8 \\
\hline
& 2 & -2 & -2 & -12 & -4 \\
\end{array}
\]
Por lo tanto, la factorización inicial es:
\[
P(x) = (x - 2)(2x^3 - 2x^2 - 2x - 12)
\]
Al continuar factorizando \( 2x^3 - 2x^2 - 2x - 12 \), se puede aplicar Ruffini nuevamente o buscar otras raíces.
Finalmente, los posibles ceros son \( x = 2 \) y se puede continuar la factorización.
En conclusión, no encontramos \( x = 1 \) como raíz, pero sí \( x = 2 \).
Ejercicio 19:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \). Una vez que hayas encontrado uno de los factores, verifica tu respuesta multiplicando nuevamente los factores obtenidos. ¿Cuáles son los factores del polinomio?
Solución: Respuesta: \( P(x) = (x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1) \)
Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \) utilizando la regla de Ruffini, primero probamos con posibles raíces del polinomio. Tras probar varios valores, encontramos que \( x = 3 \) es una raíz.
Aplicando la regla de Ruffini con \( x = 3 \):
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, -8, 5, 6 \).
2. Colocamos el 3 a la izquierda y realizamos el procedimiento:
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
3 & 2 & -3 & -8 & 5 & 6 \\
& & 6 & 9 & 3 & 24 \\
\hline
& 2 & 3 & 1 & 8 & 30 \\
\end{array}
\]
Los coeficientes del polinomio resultante son \( 2, 3, 1, 2 \), por lo que:
\[
P(x) = (x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1)
\]
Ahora, verificamos multiplicando de nuevo los factores:
\[
(x - 3)(2x^3 + 3x^2 + 1) = 2x^4 + 3x^3 + 1x - 6x^3 - 9x^2 - 3 = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6
\]
Por lo que la factorización es correcta.
Los factores del polinomio son \( (x - 3) \) y \( (2x^3 + 3x^2 + 1) \).
Ejercicio 20:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 6x - 4 \). Además, determina las raíces del polinomio y verifica si son reales o complejas.
Solución: Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^3 + x^2 - 1) \)
Las raíces del polinomio son \( x = 2 \) y las raíces del polinomio cúbico \( x^3 + x^2 - 1 \) se pueden encontrar utilizando el método de Newton o la fórmula de Cardano, obteniendo aproximadamente \( x \approx 0.618 \) (real) y \( x \approx -1.309 \pm 0.618i \) (complejas).
---
Explicación breve:
Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 6x - 4 \) usando la regla de Ruffini, primero identificamos un posible factor lineal. En este caso, \( x - 2 \) es un factor, lo que nos permite dividir el polinomio y obtener el polinomio cúbico \( x^3 + x^2 - 1 \). Luego, se pueden encontrar sus raíces mediante métodos numéricos o gráficos, lo que nos permite concluir que tenemos una raíz real y dos complejas.
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La Regla de Ruffini es una técnica útil para realizar la división de polinomios por un binomio de la forma (x – r). Este método simplifica el proceso de dividir polinomios de manera más rápida y eficiente que el método clásico. A continuación, se presenta un breve resumen del temario relacionado con este concepto fundamental en Matemáticas para 4º ESO.
Temario de la Regla de Ruffini
Definición de la Regla de Ruffini
Condiciones para aplicar la Regla de Ruffini
Pasos para realizar la división de un polinomio
Interpretación del resultado obtenido
Ejemplos prácticos
Breve Explicación/Recordatorio de la Teoría
Para aplicar la Regla de Ruffini, es esencial que el polinomio que se desea dividir sea de la forma (P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0) y el divisor sea un binomio (x – r), donde (r) es un número real. Los pasos a seguir son los siguientes:
Escribir los coeficientes del polinomio en una fila.
Colocar el valor de (r) a la izquierda y dibujar una línea para comenzar el proceso.
Bajar el primer coeficiente y multiplicarlo por (r), sumando el resultado al siguiente coeficiente.
Repetir el proceso hasta haber utilizado todos los coeficientes.
El resultado será un nuevo polinomio y el residuo.
Es importante recordar que la Regla de Ruffini solo se puede utilizar cuando se cumple la condición de que el divisor es un binomio de la forma (x – r). Además, el resultado de la división será un polinomio de grado (n-1) y un residuo que puede ser cero o diferente de cero.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y verás cómo mejorarás en la resolución de problemas!