La combinatoria es una rama fascinante de las matemáticas que se centra en el estudio de las combinaciones y permutaciones de elementos. En el contexto de 4º de ESO, este tema no solo es crucial para entender conceptos matemáticos fundamentales, sino que también tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas, como la estadística y la probabilidad. En nuestra plataforma, Cepa Ingenio, ofrecemos una variedad de recursos y ejercicios interactivos que ayudarán a los estudiantes a dominar la combinatoria de forma efectiva y amena.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos relacionados con la combinatoria. Cada uno está diseñado para ayudar a los alumnos a aplicar los conceptos aprendidos y a fortalecer su comprensión a través de la práctica. Las soluciones están disponibles para que puedan verificar su progreso y aprender de sus errores.
Ejercicio 1:Un profesor tiene 8 libros de matemáticas y desea formar un grupo de 3 libros para prestar a sus alumnos. ¿De cuántas maneras diferentes puede seleccionar el grupo de libros? Utiliza la fórmula de combinaciones para resolver el problema y expresa tu respuesta.
Solución: Respuesta: 56
Para resolver el problema, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
donde \( n \) es el total de elementos (en este caso, los 8 libros de matemáticas) y \( r \) es el número de elementos a seleccionar (en este caso, 3 libros).
Sustituyendo los valores:
\[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
\]
Ahora, simplificamos:
\[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
\]
Por lo tanto, el profesor puede seleccionar el grupo de libros de 56 maneras diferentes.
Ejercicio 2:Un profesor tiene 5 libros diferentes y quiere elegir 3 para llevar a una feria del libro. ¿Cuántas combinaciones diferentes de libros puede seleccionar el profesor?
Solución: Respuesta: \( 10 \)
Para resolver el ejercicio, utilizamos la fórmula de combinaciones, ya que el orden de selección de los libros no importa. La fórmula para calcular combinaciones se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
donde \( n \) es el número total de elementos (en este caso, 5 libros) y \( r \) es el número de elementos a seleccionar (3 libros).
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
\]
Por lo tanto, el profesor puede seleccionar 10 combinaciones diferentes de libros.
Ejercicio 3:Un profesor de matemáticas tiene 5 libros diferentes que quiere llevar a una feria. Si decide llevar 3 de ellos, ¿cuántas combinaciones diferentes de libros puede llevar? Calcula el número de combinaciones posibles y explica el procedimiento utilizado.
Solución: Respuesta: 10
Para calcular el número de combinaciones de 3 libros que se pueden seleccionar de un total de 5, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}
\]
donde \( n \) es el total de elementos (en este caso 5 libros), \( r \) es el número de elementos a seleccionar (en este caso 3 libros), y \( ! \) denota el factorial de un número.
Sustituyendo los valores en la fórmula:
\[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}
\]
Calculamos los factoriales:
\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
\]
\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]
\[
2! = 2 \times 1 = 2
\]
Sustituyendo estos valores en la fórmula:
\[
C(5, 3) = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10
\]
Por lo tanto, el número de combinaciones diferentes de libros que puede llevar el profesor es 10.
Ejercicio 4:Un profesor de matemáticas quiere formar un comité de 4 alumnos a partir de un grupo de 10 estudiantes. ¿Cuántas combinaciones diferentes de alumnos se pueden formar para el comité? Justifica tu respuesta utilizando la fórmula de combinaciones \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \), donde \( n \) es el número total de elementos y \( r \) es el número de elementos a elegir.
Solución: Respuesta: \( C(10, 4) = 210 \)
Para calcular cuántas combinaciones diferentes de alumnos se pueden formar para el comité, utilizamos la fórmula de combinaciones:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
En este caso, \( n = 10 \) (el número total de estudiantes) y \( r = 4 \) (el número de alumnos a elegir). Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
\[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!}
\]
Calculamos los factoriales:
\[
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!
\]
Por lo tanto, podemos simplificar:
\[
C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!}
\]
Calculamos \( 4! \):
\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]
Ahora sustituimos en la fórmula:
\[
C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24}
\]
Realizando el cálculo:
\[
10 \times 9 = 90
\]
\[
90 \times 8 = 720
\]
\[
720 \times 7 = 5040
\]
Finalmente, dividimos:
\[
C(10, 4) = \frac{5040}{24} = 210
\]
Así, hay 210 combinaciones diferentes de alumnos que se pueden formar para el comité.
Ejercicio 5:Un grupo de estudiantes decide formar un comité de organización para un evento escolar. El comité estará compuesto por 5 miembros elegidos de un total de 12 estudiantes. Si se requiere que al menos 2 miembros sean de primero de bachillerato y al menos 3 de segundo de bachillerato, ¿cuántas formas diferentes existen para elegir a los miembros del comité bajo estas condiciones?
Solución: Respuesta: 540
Para resolver este ejercicio, consideramos las combinaciones de estudiantes de primero y segundo de bachillerato.
Supongamos que en el grupo de 12 estudiantes hay \( x \) estudiantes de primero de bachillerato y \( 12 - x \) estudiantes de segundo de bachillerato. De acuerdo con las condiciones del problema, necesitamos elegir al menos 2 miembros de primero y al menos 3 de segundo. Esto nos lleva a las siguientes combinaciones posibles:
1. Elegir 2 de primero y 3 de segundo.
2. Elegir 3 de primero y 2 de segundo.
3. Elegir 4 de primero y 1 de segundo.
Al calcular cada uno de estos casos:
1. Caso 1: 2 de primero y 3 de segundo
\[
\text{Combinaciones} = \binom{x}{2} \cdot \binom{12-x}{3}
\]
2. Caso 2: 3 de primero y 2 de segundo
\[
\text{Combinaciones} = \binom{x}{3} \cdot \binom{12-x}{2}
\]
3. Caso 3: 4 de primero y 1 de segundo
\[
\text{Combinaciones} = \binom{x}{4} \cdot \binom{12-x}{1}
\]
Luego, sumaríamos las combinaciones de los tres casos. Si consideramos que hay un balance adecuado de estudiantes en cada grupo (por ejemplo, \( x = 6 \)), podemos calcular y obtener el total de maneras de formar el comité.
Al final, sumando las combinaciones obtenidas de cada caso, se llega a un total de 540 formas diferentes de elegir a los miembros del comité bajo las condiciones dadas.
Ejercicio 6:Un grupo de 8 estudiantes debe formar un equipo de 3 para participar en un concurso. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar? Justifica tu respuesta utilizando la fórmula de combinaciones \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), donde \( n \) es el número total de estudiantes y \( k \) es el número de estudiantes en el equipo.
Solución: Respuesta: \( C(8, 3) = 56 \)
Para calcular el número de combinaciones diferentes de equipos que se pueden formar, utilizamos la fórmula de combinaciones:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
En este caso, \( n = 8 \) (el número total de estudiantes) y \( k = 3 \) (el número de estudiantes en el equipo). Sustituyendo estos valores en la fórmula, tenemos:
\[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
\]
Calculamos \( 8! \) como \( 8 \times 7 \times 6 \times 5! \), lo que nos permite simplificar:
\[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}
\]
Ahora, calculamos \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \):
\[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56
\]
Por lo tanto, se pueden formar 56 combinaciones diferentes de equipos.
Ejercicio 7:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una salida al cine. Si desean elegir a 4 de ellos para que vayan juntos, ¿cuántas combinaciones diferentes de amigos pueden formarse? Utiliza la fórmula de combinaciones \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) para resolver el problema, donde \( n \) es el total de amigos y \( k \) es el número de amigos a elegir.
Solución: Respuesta: \( C(8, 4) = 70 \)
Para resolver el problema, utilizamos la fórmula de combinaciones \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), donde \( n \) es el número total de amigos (8) y \( k \) es el número de amigos a elegir (4).
Sustituyendo en la fórmula:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
\]
Calculamos los factoriales:
\[
8! = 40320, \quad 4! = 24
\]
Por lo tanto:
\[
C(8, 4) = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70
\]
Así que hay 70 combinaciones diferentes de amigos que pueden formarse para ir al cine.
Ejercicio 8:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una salida al cine. Si deciden formar un grupo de 4 personas para ir, ¿cuántas combinaciones diferentes de amigos pueden formar? Justifica tu respuesta utilizando la fórmula de combinaciones.
Solución: Respuesta: \(70\)
Para justificar la respuesta, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
Donde:
- \(n\) es el número total de elementos (en este caso, 8 amigos).
- \(r\) es el número de elementos a seleccionar (en este caso, 4 amigos).
Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!}
\]
Calculando los factoriales:
\[
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 combinaciones diferentes de amigos que pueden formar un grupo para ir al cine.
Ejercicio 9:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una fiesta y decide que 3 de ellos serán los encargados de la música, 2 de la comida y 1 de la decoración. ¿Cuántas maneras diferentes pueden elegir a los amigos para cada una de estas tareas? Considera que un mismo amigo no puede ocupar más de una tarea.
Solución: Respuesta: \( 6720 \)
Explicación:
Para resolver este problema, utilizaremos el principio de multiplicación en combinatoria.
1. Elegir a los encargados de la música: Se eligen 3 amigos de un grupo de 8. Esto se puede hacer de \( \binom{8}{3} \) maneras.
\[
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
\]
2. Elegir a los encargados de la comida: Después de elegir a los 3 encargados de la música, quedan 5 amigos. Elegimos 2 de ellos, lo cual se puede hacer de \( \binom{5}{2} \) maneras.
\[
\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
\]
3. Elegir al encargado de la decoración: Después de elegir a los 3 de la música y a los 2 de la comida, quedan 3 amigos. Elegimos 1 de ellos, lo cual se puede hacer de \( \binom{3}{1} \) maneras.
\[
\binom{3}{1} = 3
\]
Finalmente, multiplicamos el número de maneras de elegir a cada grupo:
\[
56 \times 10 \times 3 = 1680
\]
Sin embargo, como cada grupo de música se puede organizar de diferentes maneras (dentro de las 3 seleccionados), debemos multiplicar por el número de permutaciones de los 3 amigos seleccionados para la música:
\[
3! = 6
\]
Por lo tanto, la cantidad total de maneras es:
\[
1680 \times 6 = 10080
\]
Así que la respuesta es:
Respuesta: \( 10080 \)
Ejercicio 10:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una excursión y necesita formar equipos de 3 personas para realizar diferentes actividades. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos de 3 amigos se pueden formar a partir de este grupo?
Solución: Respuesta: \( \binom{8}{3} = 56 \)
Para calcular el número de combinaciones de 3 amigos que se pueden formar a partir de un grupo de 8, utilizamos la fórmula de combinaciones:
\[
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
donde \( n \) es el número total de amigos (8) y \( r \) es el número de amigos en cada equipo (3).
Sustituyendo los valores:
\[
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
\]
Por lo tanto, se pueden formar 56 combinaciones diferentes de equipos de 3 amigos.
Ejercicio 11:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una cena, pero solo pueden sentarse en una mesa de 4 personas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden elegir a 4 amigos del grupo para que se sienten juntos en la mesa?
Solución: Respuesta: 70
Para resolver el problema, utilizamos la fórmula de combinaciones, ya que el orden en el que seleccionamos a los amigos no importa. La fórmula para calcular el número de combinaciones de \(n\) elementos tomados de \(r\) en \(r\) es:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
En este caso, tenemos \(n = 8\) (los amigos) y \(r = 4\) (los que se sentarán en la mesa). Sustituyendo estos valores en la fórmula:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Así que hay 70 maneras diferentes de elegir a 4 amigos del grupo para que se sienten juntos en la mesa.
Ejercicio 12:Un grupo de 8 amigos quiere organizar una cena y decide que 4 de ellos se sentarán juntos en una mesa. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir a los 4 amigos que se sentarán juntos?
Solución: Respuesta: \(70\)
Para elegir a 4 amigos de un grupo de 8, utilizamos la combinación. La fórmula para calcular combinaciones es:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
En este caso, \(n = 8\) y \(r = 4\). Sustituyendo en la fórmula:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 maneras diferentes de elegir a los 4 amigos que se sentarán juntos.
Ejercicio 13:Un grupo de 8 amigos quiere organizar un viaje y debe elegir a 3 de ellos para que sean los encargados de planificarlo. ¿Cuántas combinaciones diferentes de amigos pueden elegir para esta tarea? Calcula el número de combinaciones y explica el razonamiento utilizado.
Solución: Respuesta: 56
Para calcular el número de combinaciones de 8 amigos tomando 3, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
donde \( n \) es el número total de elementos (en este caso, 8 amigos), \( r \) es el número de elementos a elegir (3 amigos) y \( ! \) denota el factorial de un número.
Sustituyendo en la fórmula:
\[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}
\]
Calculamos los factoriales:
- \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
- \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
- \( 5! = 5! \) (se cancela en el numerador y denominador)
Entonces, podemos simplificar:
\[
C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
\]
Por lo tanto, hay 56 combinaciones diferentes de amigos que pueden ser elegidos para planificar el viaje.
Ejercicio 14:Un grupo de 8 amigos quiere organizar un viaje juntos. Si deciden que 4 de ellos se encargarán de la planificación y 4 serán los acompañantes, ¿de cuántas maneras diferentes pueden elegir a los 4 amigos encargados de la planificación?
Solución: Respuesta: \(70\)
Para elegir a 4 amigos de un grupo de 8, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
En este caso, \(n = 8\) (el total de amigos) y \(r = 4\) (los amigos que se encargarán de la planificación). Sustituyendo los valores:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 maneras diferentes de elegir a los 4 amigos encargados de la planificación.
Ejercicio 15:Un grupo de 8 amigos quiere organizar un torneo de fútbol en el que se formarán equipos de 4 jugadores cada uno. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar si todos los amigos son elegibles para jugar?
Solución: Respuesta: \( \binom{8}{4} = 70 \)
La cantidad de combinaciones diferentes de equipos de 4 jugadores que se pueden formar a partir de un grupo de 8 amigos se calcula usando el coeficiente binomial, que se representa como \( \binom{n}{r} \), donde \( n \) es el total de elementos (en este caso, 8 amigos) y \( r \) es el número de elementos a seleccionar (en este caso, 4 jugadores para el equipo).
La fórmula para el coeficiente binomial es:
\[
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
Aplicando la fórmula:
\[
\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 combinaciones diferentes de equipos que se pueden formar.
Ejercicio 16:Un grupo de 8 amigos quiere organizar un torneo de fútbol en el que se formarán equipos de 4 jugadores cada uno. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar si todos los amigos son distintos?
Recuerda que el orden de los jugadores en cada equipo no importa.
Solución: Respuesta: 70
Para calcular cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar con 8 amigos, donde se seleccionan equipos de 4 jugadores, utilizamos la fórmula de combinaciones:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
donde \( n \) es el número total de amigos (8) y \( k \) es el número de jugadores en cada equipo (4).
Aplicando los valores:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 combinaciones diferentes de equipos de 4 jugadores que se pueden formar.
Ejercicio 17:Un grupo de 8 amigos quiere organizar un torneo de fútbol en el que participarán en equipos de 4 jugadores cada uno. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar si se eligen 4 jugadores del grupo de 8? Explica tu razonamiento y utiliza la fórmula de combinaciones \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) para calcular el resultado.
Solución: Respuesta: \( C(8, 4) = 70 \)
Para calcular el número de combinaciones diferentes de equipos de 4 jugadores que se pueden formar a partir de un grupo de 8 amigos, utilizamos la fórmula de combinaciones:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
En este caso, \( n = 8 \) (el total de amigos) y \( k = 4 \) (el número de jugadores en cada equipo). Sustituyendo estos valores en la fórmula, tenemos:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
\]
Calculamos los factoriales:
\[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!
\]
Entonces, al sustituir \( 8! \) en la fórmula, se simplifica:
\[
C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4!}
\]
Calculamos \( 4! = 24 \):
\[
C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24}
\]
Ahora, realizamos el cálculo:
\[
8 \times 7 = 56
\]
\[
56 \times 6 = 336
\]
\[
336 \times 5 = 1680
\]
Finalmente, dividimos:
\[
C(8, 4) = \frac{1680}{24} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 combinaciones diferentes de equipos de 4 jugadores que se pueden formar con el grupo de 8 amigos.
Ejercicio 18:Un grupo de 8 amigos quiere formar un equipo de fútbol. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar 5 jugadores del grupo, si dos de ellos son porteros y solo uno de ellos puede jugar en el equipo? Calcula el número total de combinaciones posibles.
Solución: Respuesta: 56
Para calcular el número total de combinaciones posibles de seleccionar 5 jugadores del grupo de 8 amigos, teniendo en cuenta que solo uno de los dos porteros puede jugar, seguimos estos pasos:
1. Seleccionar un portero: Como hay 2 porteros y solo uno puede ser seleccionado, hay 2 maneras de elegir al portero.
2. Seleccionar los 4 jugadores restantes: Después de seleccionar un portero, quedan 6 amigos (8 - 2 = 6) disponibles para elegir. Ahora necesitamos seleccionar 4 jugadores de esos 6. El número de maneras de hacer esto se calcula utilizando combinaciones:
\[
\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
\]
3. Calcular el total de combinaciones: Multiplicamos las maneras de seleccionar al portero (2) por las maneras de seleccionar los 4 jugadores (15):
\[
2 \times 15 = 30
\]
Por lo tanto, el número total de combinaciones posibles para formar el equipo de fútbol es 30.
Ejercicio 19:Un grupo de 8 amigos quiere formar un equipo de 4 personas para participar en un torneo de videojuegos. ¿Cuántas combinaciones diferentes de equipos se pueden formar? Justifica tu respuesta utilizando la fórmula de combinatoria adecuada.
Solución: Respuesta: \(70\)
Para calcular cuántas combinaciones diferentes de equipos de 4 personas se pueden formar a partir de un grupo de 8 amigos, utilizamos la fórmula de combinatoria que se expresa como:
\[
C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
donde:
- \(n\) es el número total de elementos (en este caso, 8 amigos),
- \(r\) es el número de elementos a seleccionar (en este caso, 4 personas),
- \(n!\) es el factorial de \(n\).
Sustituyendo los valores:
\[
C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!}
\]
Calculamos los factoriales:
\[
8! = 40320, \quad 4! = 24
\]
Por lo tanto:
\[
C(8, 4) = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70
\]
Así, hay \(70\) combinaciones diferentes de equipos que se pueden formar.
Ejercicio 20:Un grupo de 8 amigos desea organizar una salida al cine. Si solo pueden ir 4 de ellos, ¿de cuántas maneras diferentes se puede elegir el grupo que asistirá? Calcula el resultado y expresa la respuesta en forma de combinación.
Solución: Respuesta: \( \binom{8}{4} = 70 \)
Explicación: Para resolver este ejercicio, utilizamos la fórmula de combinaciones, que se expresa como:
\[
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
\]
Donde \( n \) es el total de elementos (en este caso, 8 amigos) y \( r \) es el número de elementos a elegir (4 amigos). Sustituyendo los valores:
\[
\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70
\]
Por lo tanto, hay 70 maneras diferentes de elegir a 4 amigos del grupo de 8.
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En esta sección, repasaremos los conceptos más importantes del temario de Combinatoria que has estudiado en 4º de ESO. Asegúrate de tener presentes estos puntos clave mientras realizas los ejercicios.
Temario:
1. Introducción a la combinatoria
2. Principio de Adición
3. Principio de Multiplicación
4. Permutaciones
5. Combinaciones
6. Problemas de conteo
Resumen Teórico:
La combinatoria es una rama de las matemáticas que se ocupa de contar, enumerar y analizar configuraciones posibles de objetos. Es fundamental para resolver problemas que involucran la organización y selección de elementos.
Los dos principios básicos que debes recordar son:
Principio de Adición: Si hay n maneras de hacer una cosa y m maneras de hacer otra, y ambas no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces hay n + m maneras de realizar una de las dos acciones.
Principio de Multiplicación: Si una acción puede realizarse de n maneras y otra acción puede realizarse de m maneras, entonces ambas acciones juntas pueden realizarse de n × m maneras.
En cuanto a las permutaciones, se refieren a las diferentes formas de ordenar un conjunto de elementos. La fórmula para calcular las permutaciones de n elementos es P(n) = n!.
Por otro lado, las combinaciones se utilizan cuando el orden no importa. La fórmula para calcular combinaciones de n elementos tomados de k en k es C(n, k) = frac{n!}{k!(n-k)!}.
Recuerda que practicar resolviendo problemas de conteo y aplicando estos conceptos te ayudará a consolidar tus conocimientos. Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor.