Las inecuaciones son una parte fundamental del estudio de las matemáticas en 4º de ESO, ya que permiten comprender cómo se comportan las relaciones entre diferentes cantidades. En esta sección del portal web Cepa Ingenio, encontrarás recursos y ejercicios diseñados para ayudarte a dominar este tema. A través de ejemplos prácticos y explicaciones claras, podrás mejorar tus habilidades en la resolución de inecuaciones y aplicar estos conocimientos en situaciones reales.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, ofrecemos una variedad de ejercicios y problemas resueltos relacionados con las inecuaciones. Cada ejercicio incluye su correspondiente solución para que puedas aprender de manera efectiva y profundizar en tu comprensión de este importante concepto matemático.
Ejercicio 1:Resuelve la siguiente inecuación: \(3x - 5 < 4\). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5 \implies 3x < 9
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3} \implies x < 3
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 3 \).
Ejercicio 2:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 7 < 2x + 5 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones en forma de intervalo?
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 12) \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2x + 5 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 7 < 5
\]
lo que simplifica a:
\[
x - 7 < 5
\]
2. Sumamos \( 7 \) a ambos lados:
\[
x < 12
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( (-\infty, 12) \).
Ejercicio 3:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 7 < 2 \). Expresa la solución en forma de intervalo.
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 3) \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2 \), primero sumamos 7 a ambos lados:
\[
3x < 9
\]
Luego, dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, la solución en forma de intervalo es \( (-\infty, 3) \).
Ejercicio 4:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 7 \). ¿Cuál es el conjunto solución de \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \implies 3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \implies x < 4
\]
El conjunto solución es todos los números reales que son menores que 4.
Ejercicio 5:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 7 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 4 \).
Ejercicio 6:Resuelve la siguiente inecuación: \( 3x - 5 < 4 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 9
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3}
\]
Esto resulta en:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es todos los números reales menores que 3.
Ejercicio 7:Resuelve la siguiente inecuación: \( 2x - 5 < 3 \). ¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3 \), seguimos estos pasos:
1. Sumar 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
2x - 5 + 5 < 3 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
2x < 8
\]
2. Dividir ambos lados entre 2:
\[
\frac{2x}{2} < \frac{8}{2}
\]
Lo que da:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x < 4 \).
Ejercicio 8:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Para qué valores de \( x \) se cumple esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), primero sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 12
\]
A continuación, dividimos ambos lados entre 3:
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, la solución es que \( x \) puede tomar cualquier valor menor que 4.
Ejercicio 9:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el intervalo de valores de \( x \) que satisface esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Suma 5 a ambos lados:
\[
3x < 7 + 5
\]
\[
3x < 12
\]
2. Divide ambos lados entre 3:
\[
x < \frac{12}{3}
\]
\[
x < 4
\]
Por lo tanto, el intervalo de valores de \( x \) que satisface la inecuación es \( (-\infty, 4) \).
Ejercicio 10:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 4x + 7 \]
¿Cuál es el conjunto solución en forma de intervalo?
Solución: Respuesta: \( (-\infty, 12) \)
Explicación: Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4x + 7 \), primero restamos \( 3x \) de ambos lados:
\[
-5 < x + 7
\]
Luego, restamos \( 7 \) de ambos lados:
\[
-12 < x
\]
Esto se puede reescribir como:
\[
x > -12
\]
Por lo tanto, el conjunto solución en forma de intervalo es \( (-\infty, 12) \).
Ejercicio 11:Resuelve la siguiente inecuación:
\[ 3x - 5 < 2(x + 1) + 4 - 2x \]
Una vez que hayas encontrado el conjunto solución, representa gráficamente la solución en la recta numérica y determina si el número \( x = 2 \) pertenece a la solución de la inecuación.
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación, comenzamos simplificando el lado derecho:
\[
3x - 5 < 2(x + 1) + 4 - 2x
\]
Desarrollamos el lado derecho:
\[
2(x + 1) = 2x + 2
\]
Entonces, la inecuación queda:
\[
3x - 5 < 2x + 2 + 4 - 2x
\]
Simplificando:
\[
3x - 5 < 2
\]
Ahora, sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x < 7
\]
Finalmente, dividimos entre 3:
\[
x < \frac{7}{3}
\]
Para representar gráficamente la solución en la recta numérica, dibujamos una línea y marcamos el punto \( \frac{7}{3} \) (aproximadamente 2.33) con un círculo abierto, indicando que no incluye el 2.33, y sombreando hacia la izquierda para mostrar que todos los valores menores son parte de la solución.
Para determinar si \( x = 2 \) pertenece a la solución de la inecuación:
Dado que \( 2 < \frac{7}{3} \) (aproximadamente 2.33), podemos concluir que \( x = 2 \) sí pertenece a la solución de la inecuación.
Ejercicio 12:Resuelve la siguiente inecuación:
\[
3x - 5 < 4
\]
¿Cuál es el intervalo de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
3x - 5 + 5 < 4 + 5
\]
Esto simplifica a:
\[
3x < 9
\]
2. Luego, dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{9}{3}
\]
Lo que nos da:
\[
x < 3
\]
Por lo tanto, el intervalo de soluciones para \( x \) es \( (-\infty, 3) \).
Ejercicio 13:Resuelve la siguiente inecuación:
\[
2x - 5 < 3x + 1
\]
¿Cuál es el conjunto de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x > -6 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3x + 1 \), seguimos los siguientes pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
-5 < x + 1
\]
2. Restamos \( 1 \) de ambos lados:
\[
-6 < x
\]
3. Lo podemos reescribir como:
\[
x > -6
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es \( x > -6 \).
Ejercicio 14:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\( 2x - 5 < 3 \)
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 2x - 5 < 3 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados de la inecuación:
\[
2x < 3 + 5
\]
\[
2x < 8
\]
2. Dividimos ambos lados entre 2:
\[
x < \frac{8}{2}
\]
\[
x < 4
\]
La solución es \( x < 4 \). En la recta numérica, representamos esto con una línea que se extiende hacia la izquierda desde el 4, usando un círculo abierto en el 4 para indicar que no está incluido en la solución.
Aquí está la representación en la recta numérica:
```
<----(4)-------------------->
```
Donde el paréntesis abierto en el 4 indica que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 15:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 7 < 2x + 5 \]
¿Cuál es el conjunto de soluciones?
Solución: Respuesta: \( x < 12 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 7 < 2x + 5 \), seguimos estos pasos:
1. Restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 7 < 5
\]
que simplifica a:
\[
x - 7 < 5
\]
2. Sumamos 7 a ambos lados:
\[
x < 5 + 7
\]
que se simplifica a:
\[
x < 12
\]
La solución de la inecuación es \( x < 12 \).
En una recta numérica, representamos esta solución como una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 12, con un círculo vacío en el 12 (indicando que no está incluido en la solución).
Ejercicio 16:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 en ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5
\]
\[
3x < 12
\]
2. Dividimos entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3}
\]
\[
x < 4
\]
La solución de la inecuación es \( x < 4 \).
► Representación en la recta numérica:
En la recta numérica, esto se representa como una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 4, con un círculo abierto en 4 (indicando que no se incluye el 4).
```plaintext
<---(4)---------------->
```
El círculo abierto en 4 indica que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 17:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el intervalo de valores que satisface esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \\
3x < 12
\]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \\
x < 4
\]
La solución \( x < 4 \) significa que cualquier número menor que 4 satisface la inecuación.
En la recta numérica, se representa con un círculo vacío en el 4 (indicando que no se incluye el 4) y una línea que se extiende hacia la izquierda.
Ejercicio 18:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 7 \]
¿Cuál es el conjunto de soluciones para \( x \)?
Solución: Respuesta: \( x < 4 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 7 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[
3x - 5 + 5 < 7 + 5 \implies 3x < 12
\]
2. Dividimos entre 3:
\[
\frac{3x}{3} < \frac{12}{3} \implies x < 4
\]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones para \( x \) es \( x < 4 \).
En la recta numérica, se representaría como un intervalo abierto a la izquierda del 4, indicando que 4 no está incluido en la solución.
Ejercicio 19:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 4 \]
¿Qué valores de \( x \) satisfacen esta inecuación?
Solución: Respuesta: \( x < 3 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 4 \), seguimos estos pasos:
1. Sumamos 5 a ambos lados:
\[ 3x - 5 + 5 < 4 + 5 \]
\[ 3x < 9 \]
2. Dividimos ambos lados entre 3:
\[ \frac{3x}{3} < \frac{9}{3} \]
\[ x < 3 \]
Por lo tanto, la solución de la inecuación es \( x < 3 \).
En la recta numérica, se representa con un círculo abierto en el 3, indicando que este valor no está incluido en la solución, y una flecha que se extiende hacia la izquierda.
Ejercicio 20:Resuelve la siguiente inecuación y representa su solución en una recta numérica:
\[ 3x - 5 < 2x + 7 \]
Además, determina si el número \( x = 4 \) pertenece a la solución de la inecuación.
Solución: Respuesta: \( x < 12 \)
Para resolver la inecuación \( 3x - 5 < 2x + 7 \), primero restamos \( 2x \) de ambos lados:
\[
3x - 2x - 5 < 7
\]
Esto se simplifica a:
\[
x - 5 < 7
\]
Luego, sumamos 5 a ambos lados:
\[
x < 12
\]
La solución en una recta numérica se representa con una línea que se extiende hacia la izquierda desde el punto 12, indicando que todos los números menores que 12 son parte de la solución.
Para verificar si \( x = 4 \) pertenece a la solución, comparamos:
\[
4 < 12
\]
Esto es verdadero, por lo que \( x = 4 \) sí pertenece a la solución de la inecuación.
¿Quieres imprimir o descargar en PDF estos ejercicios de Matemáticas de 4º ESO del temario Inecuaciones con sus soluciones?
Es muy sencillo. Haz clic en el siguiente enlace para convertir los ejercicios de repaso de Matemáticas de 4º ESO del temario Inecuaciones en un archivo PDF que incluirá las soluciones al final. Así podrás descargarlo o imprimirlo para practicar sin necesidad de usar el ordenador, teniendo siempre a mano los ejercicios resueltos para verificar tus respuestas.
En esta sección, hacemos un breve repaso sobre el temario de inecuaciones que has estudiado en 4º de ESO, con el fin de ayudarte a resolver los ejercicios de forma más efectiva. A continuación, te presentamos los puntos clave que debes tener en cuenta:
Temario de Inecuaciones
Definición de inecuaciones
Tipos de inecuaciones: lineales, cuadráticas y polinómicas
Resolución de inecuaciones
Representación gráfica de inecuaciones
Inecuaciones con valor absoluto
Sistemas de inecuaciones
Recordatorio de Teoría
Las inecuaciones son expresiones matemáticas que indican que una cantidad es mayor o menor que otra. Al igual que en las ecuaciones, en las inecuaciones se pueden realizar operaciones, pero es crucial recordar que al multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por un número negativo, se invierte el signo de la inecuación.
Las inecuaciones se pueden clasificar de la siguiente manera:
Inecuaciones lineales: Tienen la forma ( ax + b > c ). Se resuelven de manera similar a las ecuaciones lineales, aislando la variable.
Inecuaciones cuadráticas: Tienen la forma ( ax^2 + bx + c < 0 ). Para resolverlas, es útil encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada y analizar el signo del polinomio en los intervalos determinados por estas raíces.
Inecuaciones con valor absoluto: Se resuelven descomponiendo la inecuación en dos casos, dependiendo del valor dentro del absoluto.
Al representar gráficamente una inecuación, es importante indicar correctamente si se incluye el valor en los extremos (con un punto sólido) o no (con un punto abierto).
Finalmente, recuerda que en el caso de sistemas de inecuaciones, la solución es la intersección de las soluciones de cada inecuación individual.
Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntarle a tu profesor. ¡Buena suerte con tus ejercicios!