La racionalización es un concepto fundamental en el estudio de las matemáticas que permite simplificar expresiones que contienen raíces en el denominador. En esta sección, exploraremos diferentes técnicas y métodos para llevar a cabo la racionalización, facilitando así la resolución de problemas y el cálculo de fracciones. A través de ejemplos prácticos y ejercicios interactivos, los estudiantes de 4º ESO podrán afianzar sus conocimientos y mejorar su habilidad en este tema esencial.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, presentamos una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre la racionalización. Cada ejercicio está diseñado para proporcionar una comprensión clara y práctica del tema, y se incluyen las soluciones para que los alumnos puedan verificar su progreso y aprender de sus errores.
Ejercicio 1:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{1} = -5(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 10\)
Breve explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} - 2\). Esto nos da:
\[
\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{-1}
\]
Simplificando, obtenemos el resultado final: \(-5(\sqrt{3} - 2)\).
Ejercicio 2:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\). ¿Cuál es el resultado después de racionalizar el denominador?
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{1} = -5(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 10\)
Explicación: Para racionalizar el denominador de la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} - 2\). Esto se hace para eliminar la raíz del denominador. Así tenemos:
\[
\frac{5}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{-1} = -5(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 10
\]
El resultado final es \( -5\sqrt{3} + 10 \).
Ejercicio 3:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\). ¿Cuál es el resultado después de la racionalización?
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{1} = -5(\sqrt{3} - 2)\)
Explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} - 2\). Esto nos da:
\[
\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{-1} = -5(\sqrt{3} - 2)
\]
Así, la expresión queda racionalizada.
Ejercicio 4:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\).
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{1} = -5(\sqrt{3} - 2)\)
Explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} - 2\). Así, se obtiene:
\[
\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -5(\sqrt{3} - 2)
\]
Esto elimina la raíz del denominador.
Ejercicio 5:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\) y simplifica el resultado.
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -5(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 10\)
Explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} + 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} - 2\). Entonces, tenemos:
\[
\frac{5}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 2} = \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}
\]
El denominador se convierte en \(3 - 4 = -1\), así que la fracción se simplifica a:
\[
\frac{5(\sqrt{3} - 2)}{-1} = -5(\sqrt{3} - 2) = -5\sqrt{3} + 10
\]
Ejercicio 6:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{5}{\sqrt{3} - 1}\).
Solución: Respuesta: \(\frac{5(\sqrt{3} + 1)}{2}\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{5}{\sqrt{3} - 1}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{3} + 1\):
\[
\frac{5}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{5(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}
\]
El denominador se simplifica a:
\[
(\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
\]
Por lo tanto, la expresión final es:
\[
\frac{5(\sqrt{3} + 1)}{2}
\]
Ejercicio 7:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\). ¿Cuál es la forma racionalizada del denominador?
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1}\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - 2\). Esto nos permite eliminar la raíz del denominador:
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} - 2)
\]
De esta forma, el denominador se ha racionalizado.
Ejercicio 8:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} - 2)\).
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - 2\). Así:
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} - 2).
\]
Esto elimina la raíz del denominador, logrando la racionalización.
Ejercicio 9:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\). ¿Cuál es el resultado simplificado?
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1}\) o, simplificando, \(3\sqrt{5} - 6\).
Explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - 2\). Así, tenemos:
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} - 2) = 3\sqrt{5} - 6.
\]
Ejercicio 10:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\). ¿Cuál es el resultado después de realizar la racionalización?
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} - 2)\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - 2\). Así, tenemos:
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1} = 3(\sqrt{5} - 2)
\]
Esto elimina la raíz del denominador y nos deja con la expresión simplificada.
Ejercicio 11:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\).
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} - 2)\).
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - 2\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - (2)^2} = \frac{3(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} - 2)
\]
De esta manera, hemos racionalizado la expresión.
Ejercicio 12:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\) y simplifica el resultado.
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}\) o, simplificando, \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\).
Explicación:
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}
\]
Finalmente, al simplificar, tenemos \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\).
Ejercicio 13:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\). Luego, simplifica el resultado y determina el valor numérico aproximado de la expresión racionalizada.
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{1} = 3\sqrt{5} + 6 \approx 12.708\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, \(\sqrt{5} + 2\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} + 2)
\]
Finalmente, simplificamos:
\[
3(\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} + 6
\]
Para el valor numérico aproximado, calculamos:
\[
3\sqrt{5} + 6 \approx 3(2.236) + 6 \approx 6.708 + 6 \approx 12.708
\]
Ejercicio 14:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} + 2)\).
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 2\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}
\]
Al simplificar el denominador, obtenemos:
\[
(\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1
\]
Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
\[
3(\sqrt{5} + 2)
\]
Ejercicio 15:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\).
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} + 2)\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 2\). Así, tenemos:
\[
\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}
\]
El denominador se simplifica a:
\[
(\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1
\]
Por lo tanto, la expresión final es:
\[
3(\sqrt{5} + 2)
\]
Ejercicio 16:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\) y simplifícala al máximo.
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} + 2)\).
Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 2\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}
\]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
\[
(\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1
\]
Por lo tanto, la expresión se simplifica a:
\[
3(\sqrt{5} + 2)
\]
Ejercicio 17:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\) y simplifica el resultado.
Solución: Respuesta: \(\frac{3(\sqrt{5} + 2)}{1}\) o simplemente \(3(\sqrt{5} + 2)\).
Explicación: Para racionalizar la expresión \(\frac{3}{\sqrt{5} - 2}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 2\):
\[
\frac{3}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 3(\sqrt{5} + 2)
\]
El resultado final es \(3(\sqrt{5} + 2)\).
Ejercicio 18:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\). ¿Cuál es el resultado simplificado?
Solución: Respuesta: \(\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} - \sqrt{3}\):
\[
\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}
\]
El denominador se simplifica usando la identidad de la diferencia de cuadrados:
\[
(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
\]
Por lo tanto, la expresión se convierte en:
\[
\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}
\]
Así, la expresión está racionalizada y simplificada.
Ejercicio 19:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{2}{\sqrt{5} - 1}\). Calcula el resultado final y simplifícalo si es posible.
Solución: Respuesta: \(\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4}\) o \(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)
Para racionalizar la expresión \(\frac{2}{\sqrt{5} - 1}\), multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 1\):
\[
\frac{2}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}
\]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
\[
(\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4
\]
Por lo tanto, la expresión se convierte en:
\[
\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\]
Así obtenemos la respuesta simplificada.
Ejercicio 20:Racionaliza la siguiente expresión: \(\frac{2}{\sqrt{5} - 1}\). ¿Cuál es el resultado después de la racionalización?
Solución: Respuesta: \(\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4}\) o de forma simplificada \(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\).
Para racionalizar la expresión \(\frac{2}{\sqrt{5} - 1}\), multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, que es \(\sqrt{5} + 1\):
\[
\frac{2}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}.
\]
El denominador se simplifica a:
\[
(\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4.
\]
Por lo tanto, la expresión se convierte en:
\[
\frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}.
\]
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En esta sección, te ofrecemos un breve resumen del temario de Racionalización que has estudiado en 4º ESO, para que puedas recordar los conceptos fundamentales mientras realizas los ejercicios.
Temario
Definición de Racionalización
Racionalización de expresiones con raíces en el numerador
Racionalización de expresiones con raíces en el denominador
Racionalización de expresiones con productos de raíces
Ejercicios prácticos y problemas aplicados
Recordatorio Teórico
La racionalización es el proceso mediante el cual transformamos una expresión matemática que contiene raíces (radicales) en una forma equivalente que no las incluye, facilitando así su manipulación y cálculo. Es fundamental recordar que:
Para racionalizar el denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz que aparece en el denominador. Por ejemplo, para la expresión (frac{a}{sqrt{b}}), multiplicamos por (frac{sqrt{b}}{sqrt{b}}) para obtener: (frac{asqrt{b}}{b}).
Si hay una suma o resta de raíces en el denominador, utilizamos el conjugado para racionalizar. Por ejemplo, para (frac{1}{sqrt{a} + sqrt{b}}), multiplicamos por (frac{sqrt{a} – sqrt{b}}{sqrt{a} – sqrt{b}}).
La racionalización en el numerador sigue un proceso similar, aunque es menos común. Se aplica el mismo principio, pero el objetivo es simplificar la expresión para facilitar la suma, resta o la simplificación de fracciones.
Recuerda que la práctica es clave para dominar este tema. Si en algún momento te surgen dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o pedir ayuda a tu profesor. ¡Buena suerte y sigue practicando!