La Regla de Ruffini es un método fundamental en el estudio de la factorización de polinomios, especialmente en el ámbito de la educación secundaria. Este procedimiento simplifica el proceso de división de polinomios, permitiendo a los estudiantes resolver problemas de manera más ágil y efectiva. En esta sección, exploraremos su aplicación y proporcionaremos una serie de ejercicios y ejemplos que facilitarán la comprensión de esta técnica matemática.
Ejercicios y problemas resueltos
A continuación, encontrarás una colección de ejercicios sobre la Regla de Ruffini, acompañados de sus soluciones detalladas. Estos problemas están diseñados para ayudar a los alumnos a practicar y afianzar sus conocimientos, permitiéndoles aprender de manera efectiva a través de la resolución de casos prácticos.
Ejercicio 1:Utilizando la regla de Ruffini, simplifica el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 5 \) dividiéndolo entre \( x - 2 \). Indica el cociente y el residuo de la división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 1 \) y el residuo es \( -3 \).
Para resolver el ejercicio utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x - 5 \) y el divisor \( x - 2 \). Aquí, tomamos \( 2 \) como el valor que vamos a usar en la regla de Ruffini.
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 3, -5 \).
3. Realizamos la división siguiendo los pasos de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el número que estamos usando) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \).
- Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 3 - 4 = -1 \).
- Multiplicamos \( -1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 2 = -3 \).
4. Al final, obtenemos el cociente \( 2x^2 - 2x + 1 \) y el residuo \( -3 \).
Así que el resultado final de la división es el cociente y el residuo mencionados.
Ejercicio 2:Utilizando la regla de Ruffini, resuelve el siguiente problema:
Dado el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 6 \) y sabiendo que \( x = 1 \) es una raíz del polinomio, utiliza la regla de Ruffini para factorizar \( P(x) \) y encuentra los factores restantes. Luego, determina las raíces del polinomio factorizado.
Solución: Respuesta:
Los factores restantes de \( P(x) \) son \( 2x^3 - x^2 + 3x - 6 \). Las raíces del polinomio factorizado son \( x = 1 \) y \( x = 2 \) (con multiplicidad 1), \( x = -3 \) (con multiplicidad 1) y \( x = 1 \) (con multiplicidad 2).
Explicación:
1. Aplicamos la regla de Ruffini para dividir el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 6 \) entre \( x - 1 \):
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
1 & 2 & -3 & 5 & -4 & 6 \\
& & 2 & -1 & 4 & 0 \\
\hline
& 2 & -1 & 4 & 0 & 6 \\
\end{array}
\]
El resultado es \( 2x^3 - x^2 + 4x + 6 \) con un residuo de 0.
2. Factorizamos el polinomio:
\[
P(x) = (x - 1)(2x^3 - x^2 + 4x + 6)
\]
3. Buscamos las raíces del polinomio de grado 3 \( 2x^3 - x^2 + 4x + 6 \) utilizando la regla de Ruffini nuevamente, probando con \( x = 2 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -1 & 4 & 6 \\
& & 4 & 6 & 20 \\
\hline
& 2 & 3 & 10 & 26 \\
\end{array}
\]
Su residuo es diferente de 0, por lo que probamos con \( x = -3 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
-3 & 2 & -1 & 4 & 6 \\
& & -6 & 21 & -15 \\
\hline
& 2 & -7 & 25 & 0 \\
\end{array}
\]
Por lo tanto, \( x = -3 \) también es una raíz, y se puede factorizar como:
\[
2x^3 - x^2 + 4x + 6 = (x + 3)(2x^2 - 7x + 2)
\]
4. Finalmente, resolvemos \( 2x^2 - 7x + 2 = 0 \) usando la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4}
\]
Por lo tanto, las raíces del polinomio original son \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = -3 \), y las raíces de \( 2x^2 - 7x + 2 \) son \( x = \frac{7 + \sqrt{33}}{4} \) y \( x = \frac{7 - \sqrt{33}}{4} \).
Ejercicio 3:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5 \) entre \( x - 2 \). A continuación, determina el cociente y el residuo de la división. Si el residuo es cero, verifica si \( x - 2 \) es un factor del polinomio \( P(x) \).
Solución: Respuesta: El cociente es \( 4x^3 + 5x^2 + 12x + 23 \) y el residuo es \( 51 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos los coeficientes del polinomio: \( 4, -3, 2, -1, 5 \).
2. Colocamos el valor \( 2 \) (que es el cero de \( x - 2 \)) en la parte izquierda.
3. Llevamos a cabo el proceso de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 4 \).
- Multiplicamos \( 4 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 8 = 5 \).
- Multiplicamos \( 5 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 2 + 10 = 12 \).
- Multiplicamos \( 12 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -1 + 24 = 23 \).
- Multiplicamos \( 23 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( 5 + 46 = 51 \).
4. Resultados: El cociente es \( 4x^3 + 5x^2 + 12x + 23 \) y el residuo es \( 51 \).
Como el residuo no es cero, \( x - 2 \) no es un factor del polinomio \( P(x) \).
Ejercicio 4:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6 \) entre el binomio \( x - 2 \). A continuación, determina el residuo de la división y expresa el resultado como un polinomio de grado 3.
Solución: Respuesta: \( 2x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \) con residuo \( 4 \).
Explicación: Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 6 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 1, -5, 6 \).
2. Usamos el valor \( 2 \) (que es la raíz del binomio \( x - 2 \)).
3. Aplicamos el procedimiento de la regla de Ruffini para obtener los coeficientes del cociente y el residuo.
Al final, obtenemos el polinomio de grado 3 \( 2x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \) y un residuo de \( 4 \).
Ejercicio 5:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 4 \) entre \( x - 2 \). Una vez realizada la división, expresa el cociente y el residuo obtenidos. Además, verifica si \( x = 2 \) es una raíz del polinomio \( P(x) \) y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
Cociente: \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 7 \)
Residuo: \( 18 \)
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 4 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 5, -7, 4 \).
2. Colocamos 2 (la raíz que corresponde a \( x - 2 \)) en el lado izquierdo de la tabla de Ruffini.
3. Bajamos el primer coeficiente (2) y lo escribimos en la fila de abajo.
4. Multiplicamos este número por 2 y lo sumamos al siguiente coeficiente (-3). Repetimos este proceso para todos los coeficientes.
Al final, obtenemos el cociente y el residuo. El residuo \( 18 \) indica que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio \( P(x) \) porque, para que lo fuera, el residuo tendría que ser 0.
Por lo tanto, \( P(2) = 18 \), lo que confirma que \( x = 2 \) no es raíz.
Ejercicio 6:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \) entre \( x - 2 \). Determina el cociente y el residuo de la división, y verifica si \( x = 2 \) es una raíz del polinomio.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 8 \) y el residuo es \( 20 \). Por lo tanto, \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio.
Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 6x + 4 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 5, -6, 4 \).
2. Usamos \( 2 \) (la raíz potencial) y realizamos la operación de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos por \( 2 \) y sumamos: \( -3 + 4 = 1 \).
- Continuamos el proceso hasta obtener el cociente y el residuo:
- \( 2 \times 1 = 2 \) y \( 5 + 2 = 7 \).
- \( 2 \times 7 = 14 \) y \( -6 + 14 = 8 \).
- \( 2 \times 8 = 16 \) y \( 4 + 16 = 20 \).
Por lo tanto, el residuo es \( 20 \), lo que indica que \( x = 2 \) no es una raíz del polinomio, ya que el residuo no es cero.
Ejercicio 7:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \) entre el binomio \( x - 2 \). Luego, expresa el resultado de la división en la forma \( P(x) = (x - 2)Q(x) + R \), donde \( Q(x) \) es el cociente y \( R \) el residuo. Finalmente, determina el valor de \( R \) y el grado del polinomio \( Q(x) \).
Solución: Respuesta: \( Q(x) = 2x^3 + 1x^2 + 7x + 10 \), \( R = 21 \), \( \text{Grado de } Q(x) = 3 \).
Para realizar la división del polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1 \) entre el binomio \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( c = 2 \).
2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): \( [2, -3, 5, -4, 1] \).
3. Colocamos \( c \) en la parte izquierda y realizamos la división:
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
2 & 2 & -3 & 5 & -4 & 1 \\
& & 4 & 2 & 14 & 20 \\
\hline
& 2 & 1 & 7 & 10 & 21 \\
\end{array}
\]
4. Interpretamos los resultados: El cociente \( Q(x) \) es \( 2x^3 + 1x^2 + 7x + 10 \) y el residuo \( R \) es 21.
Así, podemos expresar el resultado de la división como:
\[
P(x) = (x - 2)(2x^3 + 1x^2 + 7x + 10) + 21
\]
Por lo tanto, el residuo \( R \) es 21 y el grado del polinomio \( Q(x) \) es 3.
Ejercicio 8:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) entre el binomio \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de la división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo es \( 0 \).
---
Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos los siguientes pasos:
1. Identificamos los coeficientes del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \):
- Coeficientes: \( 2, -6, 4, -8 \)
2. Tomamos la raíz del binomio \( x - 2 \), que es \( 2 \).
3. Colocamos los coeficientes en una línea y comenzamos el proceso de Ruffini:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\
& & 4 & -4 & 0 \\
\hline
& 2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
4. Calculamos:
- Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (la raíz) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -6 + 4 = -2 \).
- Multiplicamos \( -2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 4 = 0 \).
- Finalmente, multiplicamos \( 0 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente: \( -8 + 0 = -8 \) (residuo).
El resultado final nos da el cociente \( 2x^2 - 2x + 0 \) y el residuo \( 0 \).
Ejercicio 9:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \). Una vez realizada la división, determina el cociente y el residuo.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el polinomio a dividir \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) y el valor de \( x \) que hace cero el binomio \( x - 2 \). En este caso, \( x = 2 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Colocamos el número \( 2 \) a la izquierda y los coeficientes a la derecha:
```
2 | 2 -3 4 -5
| 4 2 12
-------------------
2 1 6 7
```
4. Bajamos el primer coeficiente \( 2 \) directamente. Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente:
- \( 2 \times 2 = 4 \); \( -3 + 4 = 1 \)
- \( 1 \times 2 = 2 \); \( 4 + 2 = 6 \)
- \( 6 \times 2 = 12 \); \( -5 + 12 = 7 \)
5. El resultado que obtenemos en la última fila es el cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo \( 7 \).
Así, la división de \( P(x) \) entre \( x - 2 \) da un cociente de \( 2x^2 + 1x + 6 \) y un residuo de \( 7 \).
Ejercicio 10:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \). Encuentra el cociente y el residuo de esta división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \): En este caso, \( x - 2 = 0 \) implica que \( c = 2 \).
2. Escribimos los coeficientes de \( P(x) \): Los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Aplicamos la regla de Ruffini:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\
& & 4 & 2 & 12 \\
\hline
& 2 & 1 & 6 & 7 \\
\end{array}
\]
- Bajamos el primer coeficiente \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (el valor de \( c \)) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 4 = 1 \).
- Repetimos el proceso: \( 1 \cdot 2 = 2 \), y \( 4 + 2 = 6 \).
- Finalmente, \( 6 \cdot 2 = 12 \) y \( -5 + 12 = 7 \).
4. Interpretamos los resultados: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Esto significa que:
\[
P(x) = (x - 2)(2x^2 + 1x + 6) + 7
\]
Ejercicio 11:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de la división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
A continuación, se presenta una breve explicación de cómo se realizó la división utilizando la regla de Ruffini:
1. Identificación de los coeficientes: Para el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \), los coeficientes son \( 2, -3, 4, -5 \).
2. Valor de la raíz: Dado que estamos dividiendo entre \( x - 2 \), la raíz es \( 2 \).
3. Aplicación de la regla de Ruffini:
- Se colocan los coeficientes en una fila.
- Se baja el primer coeficiente: \( 2 \).
- Se multiplica por la raíz \( 2 \) y se suma con el siguiente coeficiente: \( 2 \cdot 2 + (-3) = 1 \).
- Se repite el proceso: \( 1 \cdot 2 + 4 = 6 \).
- Por último: \( 6 \cdot 2 + (-5) = 7 \).
El resultado final nos da el cociente \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo \( 7 \).
Ejercicio 12:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre el binomio \( x - 1 \). ¿Cuál es el cociente y el residuo de esta división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \).
Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor de \( c \) que hace que \( x - c = 0 \). En este caso, \( c = 1 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Realizamos el algoritmo de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -3 + 2 = -1 \).
- Multiplicamos \( -1 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( 4 - 1 = 3 \).
- Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) (c) y sumamos al siguiente coeficiente: \( -5 + 3 = -2 \).
El resultado de la división nos da un cociente de \( 2x^2 - x + 3 \) y un residuo de \( -2 \).
Ejercicio 13:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \). Después, determina el cociente y el residuo de la división.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
---
Explicación: Para realizar la división de \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el número \( r \) que hace que \( x - r = 0 \). En este caso, \( r = 2 \).
2. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Realizamos el procedimiento de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente:
- \( 2 \times 2 = 4 \) y \( -3 + 4 = 1 \).
- Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \) y sumamos al siguiente coeficiente:
- \( 1 \times 2 = 2 \) y \( 4 + 2 = 6 \).
- Multiplicamos \( 6 \) por \( 2 \) y sumamos al último coeficiente:
- \( 6 \times 2 = 12 \) y \( -5 + 12 = 7 \).
4. Los resultados (coeficientes del cociente y residuo) son:
- Cociente: \( 2x^2 + 1x + 6 \)
- Residuo: \( 7 \)
Así, el cociente de la división es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Ejercicio 14:Utilizando la regla de Ruffini, realiza la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 2 \) y determina el cociente y el residuo.
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Para realizar la división utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el polinomio y el divisor: En este caso, el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) y el divisor \( x - 2 \) nos indica que usaremos \( 2 \) como el número para la regla de Ruffini.
2. Organizamos los coeficientes: Los coeficientes del polinomio son \( 2, -3, 4, -5 \).
3. Configuramos la tabla de Ruffini:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\
& & 4 & 2 & 12 \\
\hline
& 2 & 1 & 6 & 7 \\
\end{array}
\]
4. Realizamos la operación: Bajamos el primer coeficiente \( 2 \), multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \) (da \( 4 \)) y sumamos \( -3 + 4 = 1 \), luego multiplicamos \( 2 \) por \( 1 \) (da \( 2 \)) y sumamos \( 4 + 2 = 6 \), finalmente multiplicamos \( 2 \) por \( 6 \) (da \( 12 \)) y sumamos \( -5 + 12 = 7 \).
5. Interpretamos los resultados: El cociente es \( 2x^2 + 1x + 6 \) y el residuo es \( 7 \).
Así, hemos concluido la división del polinomio utilizando la regla de Ruffini.
Ejercicio 15:Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el residuo de la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \). ¿Cuál es el valor de \( P(1) \) y qué interpretación tiene en el contexto de la división?
Solución: Respuesta: El cociente es \( 2x^2 - x + 3 \) y el residuo es \( -2 \). Además, \( P(1) = -2 \).
Explicación: Para encontrar el cociente y el residuo de la división del polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) entre \( x - 1 \) utilizando la regla de Ruffini, sustituimos \( x = 1 \) en \( P(x) \). El resultado \( P(1) = -2 \) representa el residuo de la división. Por otro lado, el cociente obtenido es \( 2x^2 - x + 3 \). Esto significa que podemos expresar \( P(x) \) como \( P(x) = (x - 1)(2x^2 - x + 3) - 2 \).
Ejercicio 16:Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el residuo de la división de \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) entre \(x - 2\). Además, verifica tu resultado evaluando el polinomio en \(x = 2\).
Solución: Respuesta: El cociente es \(2x^2 + 1\) y el residuo es \( -3\).
Para resolver la división de \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) entre \(x - 2\) usando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \(2, -3, 4, -5\).
2. Usamos la raíz \(2\) (de \(x - 2 = 0\)).
3. Realizamos el proceso de Ruffini:
- Bajamos el primer coeficiente: \(2\).
- Multiplicamos por \(2\) (la raíz) y sumamos:
- \(2 \cdot 2 = 4\), \( -3 + 4 = 1\).
- \(1 \cdot 2 = 2\), \(4 + 2 = 6\).
- \(6 \cdot 2 = 12\), \(-5 + 12 = 7\).
4. Los resultados son \(2x^2 + 1\) como cociente y \( -3\) como residuo.
Para verificar, evaluamos el polinomio en \(x = 2\):
\[
f(2) = 2(2^3) - 3(2^2) + 4(2) - 5 = 16 - 12 + 8 - 5 = 7.
\]
Esto coincide con el residuo, confirmando que la división es correcta.
Ejercicio 17:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \) sabiendo que \( x = 2 \) es una raíz del polinomio. Además, determina los factores del polinomio factorizado y verifica si \( x = -3 \) es otra raíz del polinomio resultante.
Solución: Respuesta:
El polinomio \( P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 5x + 6 \) se factoriza utilizando la regla de Ruffini al dividirlo por \( x - 2 \):
1. Realizamos la división:
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
2 & 2 & -3 & -8 & 5 & 6 \\
& & 4 & 2 & -12 & -12 \\
\hline
& 2 & 1 & -6 & -7 & 0 \\
\end{array}
\]
El resultado es \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \).
2. Ahora, factorizamos \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \). Probamos si \( x = -3 \) es raíz:
3. Evaluamos \( 2(-3)^3 + (-3)^2 - 6(-3) - 7 \):
\[
2(-27) + 9 + 18 - 7 = -54 + 9 + 18 - 7 = -34 \quad (\text{no es raíz})
\]
Por lo tanto, \( P(x) = (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7) \).
Para factorizar completamente \( 2x^3 + x^2 - 6x - 7 \), podemos intentar con más raíces, pero el proceso inicial ya nos da una parte de la factorización.
La factorización final hasta ahora es:
\[
P(x) = (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7)
\]
La verificación de que \( x = -3 \) no es raíz del polinomio resultante se confirma con el cálculo anterior.
Conclusión: El polinomio factorizado es \( (x - 2)(2x^3 + x^2 - 6x - 7) \), y \( x = -3 \) no es otra raíz.
Ejercicio 18:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) sabiendo que uno de sus factores es \( (x - 2) \). ¿Cuáles son los otros factores del polinomio?
Solución: Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^2 - 2) \) y los factores son \( (x - 2) \) y \( (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) \).
Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 8 \) utilizando la regla de Ruffini, se divide el polinomio entre \( (x - 2) \):
1. Escribimos los coeficientes del polinomio: \( 2, -6, 4, -8 \).
2. Usamos el valor \( 2 \) (de \( x - 2 \)) en la regla de Ruffini.
\[
\begin{array}{r|rrrr}
2 & 2 & -6 & 4 & -8 \\
& & 4 & -4 & 0 \\
\hline
& 2 & -2 & 0 & 0 \\
\end{array}
\]
El resultado es \( 2x^2 - 2 \). Ahora, factorizamos \( 2x^2 - 2 \):
\[
2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1).
\]
Por lo tanto, el polinomio se puede expresar como:
\[
P(x) = 2(x - 2)(x - 1)(x + 1).
\]
Los otros factores del polinomio son \( (x - 1) \) y \( (x + 1) \).
Ejercicio 19:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \) y determina sus raíces. Indica también los factores del polinomio resultante.
Solución: Respuesta: \( P(x) = 2(x - 2)(x^2 - 2) \) y las raíces son \( x = 2 \) y \( x = \sqrt{2}, -\sqrt{2} \).
Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \) usando la regla de Ruffini, primero buscamos una raíz posible. Probamos con \( x = 2 \):
- Evaluamos \( P(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 4(2) - 12 = 16 - 24 + 8 - 12 = -12 \) (no es raíz).
- Probamos con \( x = -2 \):
- Evaluamos \( P(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 4(-2) - 12 = -16 - 24 - 8 - 12 = -60 \) (no es raíz).
- Probamos con \( x = 3 \):
- Evaluamos \( P(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 + 4(3) - 12 = 54 - 54 + 12 - 12 = 0 \) (sí es raíz).
Ahora aplicamos la regla de Ruffini con \( x = 3 \):
\[
\begin{array}{r|rrrr}
3 & 2 & -6 & 4 & -12 \\
& & 6 & 0 & 12 \\
\hline
& 2 & 0 & 4 & 0 \\
\end{array}
\]
El resultado de la división es \( 2x^2 + 4 \). Luego, factorizamos:
\[
P(x) = 2(x - 3)(x^2 + 2)
\]
Para encontrar las raíces de \( x^2 + 2 = 0 \), tenemos:
\[
x^2 = -2 \implies x = \sqrt{-2} \implies x = \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i
\]
Por lo tanto, las raíces de \( P(x) \) son \( x = 3 \) y \( x = \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i \).
Los factores del polinomio resultante son \( 2(x - 3)(x^2 + 2) \).
Ejercicio 20:Utilizando la regla de Ruffini, factoriza el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 4 \) sabiendo que uno de sus factores es \( x - 2 \). ¿Cuál es el cociente polinómico resultante?
Solución: Respuesta: \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x - 2) \)
El cociente polinómico resultante es \( 2x^2 + x - 2 \).
---
Explicación breve:
Para factorizar el polinomio \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 4 \) utilizando la regla de Ruffini, seguimos estos pasos:
1. Identificamos el valor \( c = 2 \) (de \( x - 2 \)).
2. Aplicamos la regla de Ruffini:
- Escribimos los coeficientes: \( 2, -3, -8, 4 \).
- Realizamos la división:
- Bajamos el primer coeficiente: \( 2 \).
- Multiplicamos \( 2 \) por \( 2 \): \( 4 \) y sumamos: \( -3 + 4 = 1 \).
- Multiplicamos \( 1 \) por \( 2 \): \( 2 \) y sumamos: \( -8 + 2 = -6 \).
- Multiplicamos \( -6 \) por \( 2 \): \( -12 \) y sumamos: \( 4 - 12 = -8 \).
El resultado de la división es \( 2x^2 + x - 2 \) con un residuo de \( 0 \), confirmando que \( x - 2 \) es un factor. Así, el polinomio se puede expresar como \( P(x) = (x - 2)(2x^2 + x - 2) \).
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La Regla de Ruffini es un método útil que se emplea para realizar la división de polinomios de manera simplificada, especialmente cuando se trata de polinomios de grado superior por un binomio de la forma (x – a). A continuación, se detalla un resumen del temario que se ha abordado en esta sección.
Temario de la Regla de Ruffini
Definición de la Regla de Ruffini.
Condiciones para aplicar la Regla de Ruffini.
Pasos para resolver divisiones de polinomios.
Ejercicios prácticos con diferentes ejemplos.
Aplicaciones de la Regla de Ruffini en la factorización.
Breve Explicación/Recordatorio
La Regla de Ruffini se utiliza cuando se quiere dividir un polinomio f(x) por un binomio de la forma (x – a). Este método se basa en el uso de los coeficientes del polinomio, lo que permite realizar la división de manera más rápida que usando el método tradicional.
Para aplicar la Regla de Ruffini, es fundamental seguir estos pasos clave:
Escribe los coeficientes del polinomio en una fila.
Coloca el valor de a (de (x – a)) a la izquierda.
Realiza las operaciones de suma y multiplicación según el método, bajando y sumando los coeficientes.
El último número que obtienes será el residuo de la división, y los demás serán los coeficientes del cociente.
Recuerda que la Regla de Ruffini no solo facilita la división de polinomios, sino que también es útil para factorizar polinomios y encontrar sus raíces. Si encuentras dificultades con los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor para aclarar tus dudas.