En el estudio de las matemáticas, los radicales son un tema fundamental que se aborda en 3º de ESO. Comprender los radicales es esencial para resolver ecuaciones y simplificar expresiones. En esta sección de Cepa Ingenio, ofrecemos recursos y materiales que te ayudarán a dominar este concepto, con explicaciones claras y ejemplos prácticos que facilitarán tu aprendizaje.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán poner a prueba tus conocimientos sobre los radicales. Cada problema incluye su solución, lo que te ayudará a entender el proceso de resolución y a mejorar tus habilidades matemáticas.
Ejercicio 1:Simplifica la siguiente expresión: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \). ¿Cuál es el resultado en su forma más simple?
Ejercicio 3:Simplifica la siguiente expresión radical: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Explicación:
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \), primero descomponemos cada raíz:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
Ahora sustituimos estas simplificaciones en la expresión original:
\[
\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}
\]
Luego, sumamos los términos semejantes:
\[
5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8\sqrt{2} \).
Ejercicio 4:Resuelve la siguiente expresión y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18}
\]
¿Cuál es el resultado final de la operación?
Solución: Respuesta: \( 3\sqrt{2} + 5\)
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} \), primero descomponemos los radicales:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
Sustituyendo en la expresión original:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}
\]
Ahora, sumamos y restamos los términos semejantes:
\[
5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
\]
Finalmente, no hay más términos que simplificar, así que el resultado final de la operación es:
\[
\sqrt{50} + 3\sqrt{2} - \sqrt{18} = 5\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, la respuesta simplificada es \( 5\sqrt{2} \).
Ejercicio 5:Resuelve la siguiente expresión y simplifica el resultado:
\(\sqrt{50} + 3\sqrt{18} - 2\sqrt{8}\).
¿Qué valor obtienes tras simplificar cada uno de los radicales?
Solución: Respuesta: \( 5 + 9 - 4 = 10 \)
Explicación:
Primero, simplificamos cada uno de los radicales en la expresión:
1. \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
2. \(3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)
3. \(-2\sqrt{8} = -2\sqrt{4 \cdot 2} = -2\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = -2 \cdot 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}\)
Ahora, sustituimos estas simplificaciones en la expresión original:
\[
5\sqrt{2} + 9\sqrt{2} - 4\sqrt{2}
\]
Al juntar términos semejantes:
\[
(5 + 9 - 4)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, el resultado simplificado de la expresión es \(10\sqrt{2}\).
Ejercicio 6:Resuelve la siguiente expresión utilizando propiedades de radicales:
Simplifica la siguiente expresión: \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \).
¿A qué resultado simplificado llegas?
Solución: Respuesta: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
Para simplificar la expresión \( \sqrt{50} + \sqrt{18} \), descomponemos los radicales:
1. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
2. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
Ahora sumamos los resultados:
\[
\sqrt{50} + \sqrt{18} = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5 + 3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]
Por lo tanto, la expresión simplificada es \( 8\sqrt{2} \).
Ejercicio 7:Resuelve la siguiente expresión radical: \( \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{16} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 12 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{16} \), calculamos cada raíz cuadrada por separado:
- \( \sqrt{64} = 8 \)
- \( \sqrt{36} = 6 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
Ahora, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
8 + 6 - 4
\]
Sumamos y restamos:
\[
8 + 6 = 14
\]
\[
14 - 4 = 10
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 10 \).
Ejercicio 8:Resuelve la siguiente expresión radical: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} \). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \( 13 \)
Explicación: Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} \), primero calculamos cada raíz cuadrada por separado:
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
Luego sumamos los resultados:
\[ 7 + 4 = 11 \]
Por lo tanto, el resultado final es \( 11 \).
Ejercicio 9:Resuelve la siguiente expresión radical:
Calcula \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \).
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 6 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), primero calculamos cada raíz cuadrada:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{16} = 4 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 4 = 11
\]
\[
11 - 3 = 8
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 10:Resuelve la siguiente expresión radical:
\[
\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}
\]
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: 6
Explicación: Para resolver la expresión radical \(\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}\), primero calculamos cada raíz cuadrada por separado:
\[
\sqrt{49} = 7,
\]
\[
\sqrt{16} = 4,
\]
\[
\sqrt{9} = 3.
\]
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3.
\]
Realizamos la suma y resta:
\[
7 + 4 = 11,
\]
\[
11 - 3 = 8.
\]
Por lo tanto, el resultado final es \(8\).
Ejercicio 11:Resuelve la siguiente expresión con radicales: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 6 \)
Explicación: Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), calculamos cada radical por separado:
\[
\sqrt{49} = 7,
\]
\[
\sqrt{16} = 4,
\]
\[
\sqrt{9} = 3.
\]
Sustituyendo estos valores en la expresión original, obtenemos:
\[
7 + 4 - 3 = 8.
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 12:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
Calcular el valor de \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \).
Solución: Respuesta: \( 8 \)
Explicación:
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} \), calculamos cada raíz cuadrada por separado:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{16} = 4 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 4 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 4 = 11
\]
\[
11 - 3 = 8
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 8 \).
Ejercicio 13:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
\[ \sqrt{49} + \sqrt{25} - \sqrt{9} \]
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 7 \)
Para resolver la expresión \( \sqrt{49} + \sqrt{25} - \sqrt{9} \), calculamos cada raíz cuadrada:
1. \( \sqrt{49} = 7 \)
2. \( \sqrt{25} = 5 \)
3. \( \sqrt{9} = 3 \)
Ahora sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
7 + 5 - 3
\]
Realizamos las operaciones:
\[
7 + 5 = 12
\]
\[
12 - 3 = 9
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 9 \).
Ejercicio 14:Resuelve la siguiente expresión con radicales:
\(\sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9}\).
¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( \sqrt{49} + \sqrt{16} - \sqrt{9} = 7 + 4 - 3 = 8 \)
Explicación:
- Calculamos cada raíz cuadrada:
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{16} = 4 \)
- \( \sqrt{9} = 3 \)
- Luego, sumamos y restamos los resultados:
- \( 7 + 4 = 11 \)
- \( 11 - 3 = 8 \)
Por lo tanto, el resultado final es 8.
Ejercicio 15:Resuelve la siguiente expresión con radicales y simplifica el resultado:
\(\sqrt{36} + \sqrt{25} - \sqrt{16}\). ¿Cuál es el resultado final?
Solución: Respuesta: \( 5 \)
Explicación: Primero, calculamos cada uno de los radicales:
\[
\sqrt{36} = 6, \quad \sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{16} = 4
\]
Luego, sustituimos estos valores en la expresión original:
\[
\sqrt{36} + \sqrt{25} - \sqrt{16} = 6 + 5 - 4
\]
Ahora, realizamos las operaciones:
\[
6 + 5 = 11 \quad \text{y} \quad 11 - 4 = 7
\]
Por lo tanto, el resultado final es \( 7 \).
Ejercicio 16:Resuelve la siguiente ecuación:
\[
\sqrt{2x + 3} - 4 = 0
\]
1. Encuentra el valor de \(x\).
2. Comprueba que tu solución es correcta sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{13}{2} \) o \( x = 6.5 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 3} - 4 = 0\), seguimos estos pasos:
1. Aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 3} = 4
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
2x + 3 = 16
\]
3. Restamos 3 de ambos lados:
\[
2x = 13
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = \frac{13}{2}
\]
Para comprobar la solución, sustituimos \(x = \frac{13}{2}\) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2\left(\frac{13}{2}\right) + 3} - 4 = 0
\]
Calculamos:
\[
\sqrt{13 + 3} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0
\]
Esto confirma que la solución es correcta.
Ejercicio 17:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
$$\sqrt{2x + 8} - 4 = 0$$
1. Encuentra el valor de \( x \).
2. Verifica si la solución es válida sustituyendo \( x \) en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = 2 \)
Para encontrar el valor de \( x \), comenzamos resolviendo la ecuación:
1. Despejamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 8} = 4
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[
2x + 8 = 16
\]
3. Restamos 8 de ambos lados:
\[
2x = 8
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = 4
\]
5. Verificamos la solución sustituyendo \( x = 2 \) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 8} - 4 = \sqrt{4 + 8} - 4 = \sqrt{12} - 4
\]
Notamos que \( \sqrt{12} \) no es igual a 4, por lo que \( x = 2 \) no es válida.
6. Luego, si seguimos el proceso y verificamos, al resolver nuevamente:
\[
\sqrt{2(4) + 8} - 4 = \sqrt{8 + 8} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0
\]
Aquí, la verificación es correcta.
Por lo tanto, el valor correcto de \( x \) es \( 4 \).
Ejercicio 18:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
a) Halla el valor de \( x \).
b) Verifica si el valor encontrado es correcto.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), seguimos estos pasos:
1. Aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
2. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz:
\[
2x + 5 = 3^2
\]
\[
2x + 5 = 9
\]
3. Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 9 - 5
\]
\[
2x = 4
\]
4. Dividimos entre 2:
\[
x = \frac{4}{2} = 2
\]
b) Ahora verificamos si el valor encontrado es correcto. Sustituimos \( x = 2 \) en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{4 + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{9} - 3 = 0
\]
\[
3 - 3 = 0
\]
La verificación es correcta, por lo tanto, el valor encontrado \( x = 2 \) es la solución de la ecuación.
Ejercicio 19:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
a) Encuentra el valor de \(x\).
b) Verifica si el valor encontrado es una solución de la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), primero aislamos la raíz cuadrada:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
Luego, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
\[
2x + 5 = 9
\]
Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 9 - 5
\]
\[
2x = 4
\]
Finalmente, dividimos entre 2:
\[
x = 2
\]
Ahora, para verificar si \(x = 2\) es una solución de la ecuación original, sustituimos este valor en la ecuación:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = 0
\]
Calculamos:
\[
\sqrt{4 + 5} - 3 = 0
\]
\[
\sqrt{9} - 3 = 0
\]
\[
3 - 3 = 0
\]
Como la ecuación se cumple, podemos confirmar que \(x = 2\) es efectivamente una solución.
Ejercicio 20:Resuelve la siguiente ecuación y simplifica el resultado:
\[
\sqrt{2x + 5} - 3 = 0
\]
1. Despeja \(x\).
2. Calcula el valor de \(x\) y verifica si es válido en la ecuación original.
Solución: Respuesta: \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
Para resolver la ecuación \(\sqrt{2x + 5} - 3 = 0\), primero sumamos 3 a ambos lados:
\[
\sqrt{2x + 5} = 3
\]
Luego, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz:
\[
2x + 5 = 9
\]
Restamos 5 de ambos lados:
\[
2x = 4
\]
Finalmente, dividimos entre 2:
\[
x = 2
\]
Ahora, verificamos si \(x = 2\) es válido en la ecuación original:
\[
\sqrt{2(2) + 5} - 3 = \sqrt{4 + 5} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0
\]
Dado que la comprobación es correcta, \(x = 2\) es la solución válida.
¿Quieres imprimir o descargar en PDF estos ejercicios de Matemáticas de 3º ESO del temario Radicales con sus soluciones?
Es muy sencillo. Haz clic en el siguiente enlace para convertir los ejercicios de repaso de Matemáticas de 3º ESO del temario Radicales en un archivo PDF que incluirá las soluciones al final. Así podrás descargarlo o imprimirlo para practicar sin necesidad de usar el ordenador, teniendo siempre a mano los ejercicios resueltos para verificar tus respuestas.
En este apartado, te ofrecemos un breve resumen del temario de radicales que has estudiado en 3º ESO. Este recordatorio puede serte útil mientras realizas los ejercicios y para aclarar cualquier duda que puedas tener.
Temario de Radicales
Definición de radicales
Propiedades de los radicales
Operaciones con radicales
Racionalización de radicales
Radicales en ecuaciones y su resolución
Breve Explicación/Recordatorio de la Teoría
Los radicales son expresiones matemáticas que incluyen raíces, como la raíz cuadrada (√) o raíz cúbica (∛). Su definición y propiedades son fundamentales para entender cómo manipularlos adecuadamente.
Las propiedades de los radicales incluyen:
Producto de radicales: (sqrt{a} cdot sqrt{b} = sqrt{a cdot b})
Cociente de radicales: (frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}})
Potencia de un radical: ((sqrt{a})^n = a^{frac{n}{2}})
Es importante recordar cómo realizar las operaciones con radicales, que incluyen la suma, resta, multiplicación y división. En el caso de la suma y resta, es necesario que los radicales tengan el mismo índice y radicando.
La racionalización es un proceso que se utiliza para eliminar radicales del denominador de una fracción, lo que facilita su manejo. Recuerda que para racionalizar una raíz cuadrada en el denominador, debes multiplicar por la raíz en el numerador y denominador.
Finalmente, los radicales pueden aparecer en ecuaciones, y su resolución a menudo implica despejar el radical y elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación. Asegúrate de comprobar las soluciones, ya que pueden surgir raíces extranas.
Si tienes alguna duda, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Buena suerte con los ejercicios!