Las fracciones son un concepto fundamental en la asignatura de Matemáticas de 3º de ESO, ya que permiten representar partes de un todo y son esenciales para comprender temas más avanzados. En esta sección de Cepa Ingenio, ofrecemos una amplia variedad de recursos y ejercicios enfocados en el aprendizaje y la práctica de las fracciones, desde su definición hasta operaciones complejas. A través de ejercicios interactivos y problemas resueltos, los estudiantes podrán fortalecer sus habilidades y mejorar su comprensión de esta importante temática.
Ejercicios y Problemas Resueltos
En esta sección, encontrarás una selección de ejercicios y problemas resueltos que te ayudarán a practicar y afianzar tus conocimientos sobre fracciones. Cada ejercicio incluye su solución, para que puedas verificar tus respuestas y aprender de manera efectiva.
Ejercicio 1:Un tren viaja a una velocidad de \( \frac{3}{4} \) de la velocidad de un automóvil. Si el automóvil recorre \( 120 \) km en \( 2 \) horas, ¿cuánto tiempo tardará el tren en recorrer \( 90 \) km? Expresa tu respuesta en horas y, si es necesario, como una fracción simplificada.
Solución: Respuesta: \( 1 \frac{1}{2} \) horas o \( \frac{3}{2} \) horas.
Explicación:
1. Primero, calculamos la velocidad del automóvil. Dado que recorre \( 120 \) km en \( 2 \) horas, su velocidad es:
\[
\text{Velocidad del automóvil} = \frac{120 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 60 \text{ km/h}
\]
2. Ahora, como el tren viaja a \( \frac{3}{4} \) de la velocidad del automóvil, su velocidad será:
\[
\text{Velocidad del tren} = \frac{3}{4} \times 60 \text{ km/h} = 45 \text{ km/h}
\]
3. Para encontrar el tiempo que tarda el tren en recorrer \( 90 \) km, usamos la fórmula del tiempo:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{90 \text{ km}}{45 \text{ km/h}} = 2 \text{ horas}
\]
4. Por lo tanto, el tren tardará \( 2 \) horas en recorrer \( 90 \) km.
Ejercicio 2:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante. En el primer tramo, recorre \(\frac{3}{5}\) de la distancia total en \(\frac{2}{3}\) de su tiempo total. En el segundo tramo, el tren recorre el resto de la distancia en un tiempo que es \(\frac{1}{4}\) del tiempo total. Si la distancia total es de 240 km, ¿cuánto tiempo tarda el tren en recorrer cada tramo si su velocidad es constante y el tiempo total de viaje es de 4 horas? Calcula el tiempo de cada tramo en horas y expresa tus respuestas en forma de fracción irreducible.
Solución: Respuesta:
- Tiempo del primer tramo: \(\frac{8}{3}\) horas
- Tiempo del segundo tramo: \(\frac{1}{4}\) horas
Explicación:
1. Distancia total: Se sabe que la distancia total es de 240 km.
2. Primer tramo: El tren recorre \(\frac{3}{5}\) de la distancia total, lo que equivale a:
\[
\text{Distancia del primer tramo} = \frac{3}{5} \times 240 = 144 \text{ km}
\]
El tiempo utilizado en este tramo es \(\frac{2}{3}\) del tiempo total (4 horas):
\[
\text{Tiempo del primer tramo} = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} \text{ horas}
\]
3. Segundo tramo: El tren recorre el resto de la distancia, que es:
\[
\text{Distancia del segundo tramo} = 240 - 144 = 96 \text{ km}
\]
El tiempo utilizado en este tramo es \(\frac{1}{4}\) del tiempo total (4 horas):
\[
\text{Tiempo del segundo tramo} = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \text{ hora}
\]
Así que los tiempos son \(\frac{8}{3}\) horas para el primer tramo y \(1\) hora para el segundo tramo.
Ejercicio 3:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(\frac{3}{4}\) de la velocidad de un coche. Si el coche sale de la misma estación 30 minutos después y alcanza al tren en 1 hora y 15 minutos, ¿cuál es la relación entre la velocidad del tren y la del coche y qué distancia recorren ambos hasta el punto en que se encuentran?
Solución: Respuesta: La relación entre la velocidad del tren y la del coche es \( \frac{3}{4} : 1 \) (o \( 3 : 4 \)). La distancia recorrida por el tren hasta el punto de encuentro es \( 22.5 \) km y la del coche es \( 30 \) km.
Explicación:
1. Sea \( v \) la velocidad del coche. Entonces, la velocidad del tren es \( \frac{3}{4}v \).
2. El tren sale primero y viaja durante \( 1 \) hora \( 15 \) minutos (que equivale a \( 1.25 \) horas).
3. El coche sale \( 30 \) minutos después, lo que significa que viaja durante \( 1.25 - 0.5 = 0.75 \) horas.
4. Durante el tiempo que el tren viaja, recorre:
\[
d_t = \left(\frac{3}{4}v\right) \cdot 1.25 = \frac{15}{16}v \text{ km}
\]
5. Durante el tiempo que el coche viaja, recorre:
\[
d_c = v \cdot 0.75 = \frac{3}{4}v \text{ km}
\]
6. Al encontrarse, ambas distancias son iguales:
\[
\frac{15}{16}v = \frac{3}{4}v
\]
7. Despejando, se puede observar que ambos recorren diferentes distancias debido a sus velocidades, y resolviendo para \( v \), se encuentra que la distancia total es \( 30 \) km (coche) y \( 22.5 \) km (tren) hasta el punto de encuentro.
Ejercicio 4:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \( \frac{3}{4} \) de la velocidad del sonido, que es aproximadamente \( 343 \, \text{m/s} \). ¿Cuál es la velocidad del tren en metros por segundo? Además, si el tren viaja durante \( 2 \frac{1}{2} \) horas, ¿cuántos kilómetros recorrerá en ese tiempo? Expresa tu respuesta en fracciones y en números decimales.
Solución: Respuesta:
1. La velocidad del tren es \( \frac{3}{4} \times 343 \, \text{m/s} = \frac{1029}{4} \, \text{m/s} = 257.25 \, \text{m/s} \).
2. Si el tren viaja durante \( 2 \frac{1}{2} \) horas, que es igual a \( \frac{5}{2} \) horas, primero convertimos las horas a segundos:
\[
\frac{5}{2} \, \text{horas} = \frac{5}{2} \times 3600 \, \text{segundos} = 9000 \, \text{segundos}.
\]
Luego, calculamos la distancia recorrida usando la fórmula \( \text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} \):
\[
\text{distancia} = 257.25 \, \text{m/s} \times 9000 \, \text{s} = 2315250 \, \text{m}.
\]
Finalmente, convertimos metros a kilómetros:
\[
2315250 \, \text{m} = \frac{2315250}{1000} \, \text{km} = 2315.25 \, \text{km}.
\]
Por lo tanto, el tren recorrerá \( 2315250 \, \text{m} \) o \( 2315.25 \, \text{km} \).
Breve explicación: Se utilizó la relación entre la velocidad del sonido y la velocidad del tren para calcular su velocidad. Luego, se convirtió el tiempo de horas a segundos para calcular la distancia total recorrida en ese tiempo, expresando el resultado tanto en metros como en kilómetros.
Ejercicio 5:Un tren sale de una estación y recorre \(\frac{3}{5}\) de su trayecto en 2 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer el trayecto completo?
Solución: Respuesta: \( \frac{10}{3} \) horas o 3 horas y 20 minutos.
Explicación: Si el tren recorre \(\frac{3}{5}\) de su trayecto en 2 horas, podemos calcular el tiempo total para recorrer el trayecto completo (1) usando una regla de tres simple. Si \(\frac{3}{5}\) del trayecto corresponde a 2 horas, entonces para 1 (el trayecto completo) se calcularía de la siguiente manera:
\[
\text{Tiempo total} = \frac{2 \text{ horas}}{\frac{3}{5}} = 2 \text{ horas} \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \text{ horas}
\]
Esto equivale a 3 horas y 20 minutos.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación y recorre \(\frac{3}{5}\) de su trayecto a una velocidad de 60 km/h. Después, aumenta su velocidad a \(\frac{2}{3}\) de su velocidad inicial y recorre el resto del trayecto. Si el trayecto total del tren es de 180 km, ¿cuánto tiempo tardó en completar el recorrido total?
Solución: Respuesta: \(3 \, \text{horas}\)
Explicación:
1. Calcular la distancia recorrida a la primera velocidad:
- El trayecto total es de 180 km, por lo que la distancia recorrida a la primera velocidad es:
\[
\text{Distancia}_{1} = \frac{3}{5} \times 180 = 108 \, \text{km}
\]
- La velocidad es de 60 km/h, así que el tiempo que tarda en recorrer esta distancia es:
\[
\text{Tiempo}_{1} = \frac{\text{Distancia}_{1}}{\text{Velocidad}} = \frac{108}{60} = 1.8 \, \text{horas}
\]
2. Calcular la distancia restante:
- La distancia restante es:
\[
\text{Distancia}_{2} = 180 - 108 = 72 \, \text{km}
\]
3. Calcular la nueva velocidad:
- La nueva velocidad es \(\frac{2}{3}\) de la velocidad inicial:
\[
\text{Velocidad}_{2} = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{km/h}
\]
4. Calcular el tiempo para recorrer la distancia restante:
- El tiempo que tarda en recorrer la distancia restante es:
\[
\text{Tiempo}_{2} = \frac{\text{Distancia}_{2}}{\text{Velocidad}_{2}} = \frac{72}{40} = 1.8 \, \text{horas}
\]
5. Calcular el tiempo total:
- El tiempo total es la suma de ambos tiempos:
\[
\text{Tiempo total} = \text{Tiempo}_{1} + \text{Tiempo}_{2} = 1.8 + 1.8 = 3 \, \text{horas}
\]
Por lo tanto, el tren tarda un total de \(3\) horas en completar su recorrido.
Ejercicio 7:Un tren sale de una estación y recorre \(\frac{3}{4}\) de su trayecto a una velocidad de \(\frac{60}{5}\) km/h. Después, aumenta su velocidad a \(\frac{90}{3}\) km/h para recorrer el \(\frac{1}{4}\) restante. Si el tren tarda un total de 2 horas en completar el trayecto, ¿cuál es la distancia total que recorre el tren? Justifica tu respuesta y expresa la distancia en kilómetros.
Solución: Respuesta: 60 km
Para encontrar la distancia total que recorre el tren, llamemos \( D \) a la distancia total. El tren recorre \(\frac{3}{4}\) de su trayecto a una velocidad de \( \frac{60}{5} = 12 \) km/h y el \(\frac{1}{4}\) restante a una velocidad de \( \frac{90}{3} = 30 \) km/h.
1. Distancia recorrida en la primera parte:
\[
\text{Distancia} = \frac{3}{4}D
\]
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{\frac{3}{4}D}{12} = \frac{3D}{48} = \frac{D}{16}
\]
2. Distancia recorrida en la segunda parte:
\[
\text{Distancia} = \frac{1}{4}D
\]
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{\frac{1}{4}D}{30} = \frac{D}{120}
\]
3. Tiempo total:
\[
\text{Tiempo total} = \frac{D}{16} + \frac{D}{120}
\]
Para sumar estos dos tiempos, necesitamos un común denominador. El mínimo común múltiplo de 16 y 120 es 240.
Convertimos ambas fracciones:
\[
\frac{D}{16} = \frac{15D}{240}
\]
\[
\frac{D}{120} = \frac{2D}{240}
\]
Sumamos:
\[
\frac{15D}{240} + \frac{2D}{240} = \frac{17D}{240}
\]
4. Igualamos el tiempo total a 2 horas:
\[
\frac{17D}{240} = 2
\]
Resolviendo para \( D \):
\[
17D = 480
\]
\[
D = \frac{480}{17} \approx 60 \text{ km}
\]
Por lo tanto, la distancia total que recorre el tren es 60 km.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación y recorre \( \frac{5}{8} \) de su trayecto en 2 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer el trayecto completo si mantiene la misma velocidad? Expresa tu respuesta en horas y minutos.
Solución: Respuesta: 4 horas y 48 minutos.
Explicación:
Si el tren recorre \( \frac{5}{8} \) de su trayecto en 2 horas, podemos calcular la velocidad del tren. La distancia total del trayecto completo se puede representar como \( D \). Entonces, la distancia recorrida en 2 horas es \( \frac{5}{8}D \).
La velocidad \( v \) del tren se calcula como:
\[
v = \frac{\text{distancia}}{\text{tiempo}} = \frac{\frac{5}{8}D}{2} = \frac{5D}{16}
\]
Para calcular el tiempo total \( T \) que tardará en recorrer el trayecto completo, utilizamos la fórmula \( T = \frac{D}{v} \):
\[
T = \frac{D}{\frac{5D}{16}} = \frac{16}{5} \text{ horas}
\]
Ahora, convertimos \( \frac{16}{5} \) horas a horas y minutos:
\[
\frac{16}{5} = 3.2 \text{ horas} = 3 \text{ horas} + 0.2 \text{ horas}
\]
Convertimos \( 0.2 \) horas a minutos:
\[
0.2 \text{ horas} \times 60 \text{ minutos/hora} = 12 \text{ minutos}
\]
Por lo tanto, el tiempo total para recorrer el trayecto completo es \( 3 \text{ horas} + 12 \text{ minutos} = 4 \text{ horas} y 48 \text{ minutos} \).
Ejercicio 9:Un tren sale de una estación y recorre \( \frac{3}{4} \) de su trayecto a una velocidad constante de 60 km/h. Después de ese tramo, aumenta su velocidad a 90 km/h y recorre el resto de la distancia en 30 minutos. ¿Cuál es la distancia total del trayecto del tren?
Solución: Respuesta: \( 120 \, \text{km} \)
Explicación:
1. Sea \( D \) la distancia total del trayecto del tren.
2. El tren recorre \( \frac{3}{4}D \) a 60 km/h. El tiempo que tarda en recorrer esta distancia es:
\[
t_1 = \frac{\frac{3}{4}D}{60}
\]
3. El restante del trayecto es \( \frac{1}{4}D \), que recorre a 90 km/h. El tiempo que tarda en este tramo es:
\[
t_2 = \frac{\frac{1}{4}D}{90}
\]
Según el problema, sabemos que \( t_2 = 30 \, \text{minutos} = \frac{1}{2} \, \text{horas} \), por lo tanto:
\[
\frac{\frac{1}{4}D}{90} = \frac{1}{2}
\]
4. Resolviendo la ecuación para \( D \):
\[
\frac{D}{360} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad D = 180 \, \text{km}
\]
5. Sin embargo, esto corresponde solo a \( \frac{1}{4}D \), por lo que:
\[
D = 120 \, \text{km}
\]
Así, la distancia total del trayecto del tren es \( 120 \, \text{km} \).
Ejercicio 10:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de \( 60 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, un coche sale de la misma estación en dirección opuesta, viajando a una velocidad de \( 90 \, \text{km/h} \).
1. ¿Cuánto tiempo tardarán en separarse \( 1 \, \text{hora} \) después de salir?
2. ¿Qué distancia total habrán recorrido ambos vehículos al cabo de esa hora?
Utiliza fracciones si es necesario para expresar tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. \( 1 \, \text{hora} \)
2. \( 150 \, \text{km} \)
---
Explicación:
1. Ambos vehículos comienzan a moverse a las 10:00 a.m. y después de \( 1 \, \text{hora} \) (es decir, a las 11:00 a.m.), el tiempo transcurrido es exactamente de \( 1 \, \text{hora} \).
2. Durante esa hora, el tren recorre \( 60 \, \text{km/h} \) y el coche recorre \( 90 \, \text{km/h} \). Por lo tanto, la distancia total recorrida por ambos vehículos es:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia del tren} + \text{Distancia del coche} = 60 \, \text{km} + 90 \, \text{km} = 150 \, \text{km}
\]
Así, después de \( 1 \, \text{hora} \), se habrán separado \( 150 \, \text{km} \).
Ejercicio 11:Un tren sale de una estación a las 10:00 a.m. y viaja a una velocidad constante de \( \frac{3}{4} \) de la velocidad de un coche que sale de la misma estación media hora más tarde. Si el coche viaja a una velocidad de \( 90 \) km/h, ¿a qué hora se encontrarán ambos vehículos en la carretera? Calcula el tiempo que ha pasado desde que salió el tren hasta el momento en que se encuentran.
Solución: Respuesta: 12:00 p.m. (mediodía) y ha pasado 2 horas desde que salió el tren.
Explicación:
1. La velocidad del coche es de \( 90 \) km/h.
2. La velocidad del tren es \( \frac{3}{4} \) de la del coche, lo que significa que su velocidad es \( \frac{3}{4} \times 90 = 67.5 \) km/h.
3. El tren sale a las 10:00 a.m. y el coche sale a las 10:30 a.m. Por lo tanto, el tren tiene una ventaja de 30 minutos, que es \( 0.5 \) horas. En ese tiempo, el tren recorre:
\[
\text{Distancia del tren} = 67.5 \, \text{km/h} \times 0.5 \, \text{h} = 33.75 \, \text{km}
\]
4. Después de que el coche sale, ambos vehículos están en movimiento. La distancia que separa al tren del coche es de 33.75 km y los dos vehículos se acercan a una velocidad relativa de:
\[
\text{Velocidad relativa} = 90 \, \text{km/h} - 67.5 \, \text{km/h} = 22.5 \, \text{km/h}
\]
5. Para encontrar el tiempo que tardará el coche en alcanzar al tren, usamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{33.75 \, \text{km}}{22.5 \, \text{km/h}} = 1.5 \, \text{h}
\]
6. Esto significa que el coche alcanzará al tren 1.5 horas después de que salió. Entonces, la hora en la que se encontrarán es:
\[
10:30 \, \text{a.m.} + 1.5 \, \text{h} = 12:00 \, \text{p.m.}
\]
7. Desde que salió el tren a las 10:00 a.m., han pasado 2 horas hasta el encuentro.
Por lo tanto, se encuentran a las 12:00 p.m. y el tiempo transcurrido desde que salió el tren es de 2 horas.
Ejercicio 12:Un tren sale de una ciudad A y se dirige hacia una ciudad B. La distancia entre A y B es de \(240 \, \text{km}\). El tren viaja a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\). Sin embargo, el tren se detiene durante \(\frac{1}{4}\) de la duración total del viaje.
1. Calcula el tiempo total que tarda el tren en llegar a la ciudad B.
2. Si el tren decide que cada vez que se detiene, lo hace durante \(\frac{1}{2}\) de la duración del tiempo que ha estado viajando, ¿cuánto tiempo extra se detendrá en total?
Expresa tus respuestas en horas y minutos.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo total que tarda el tren en llegar a la ciudad B es de \( 4 \, \text{horas} \).
2. El tiempo extra que se detendrá en total es de \( 2 \, \text{horas} \).
---
Explicación:
1. Cálculo del tiempo de viaje:
- La distancia entre A y B es de \( 240 \, \text{km} \) y la velocidad del tren es de \( 60 \, \text{km/h} \).
- El tiempo de viaje sin paradas se calcula como:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{240 \, \text{km}}{60 \, \text{km/h}} = 4 \, \text{horas}
\]
- El tren se detiene durante \(\frac{1}{4}\) de la duración total del viaje. Sea \( t \) el tiempo total de viaje, entonces:
\[
t = 4 \, \text{horas} + \frac{1}{4}t
\]
Multiplicando todo por \( 4 \) para eliminar la fracción:
\[
4t = 16 + t
\]
Resolviendo:
\[
4t - t = 16 \implies 3t = 16 \implies t = \frac{16}{3} \approx 5.33 \, \text{horas} \text{ (5 horas y 20 minutos)}
\]
- Sin embargo, el tiempo total que se considera es \( 4 \, \text{horas} \) de viaje más \( \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \, \text{hora} \) de parada, lo que da un total de \( 5 \, \text{horas} \).
2. Cálculo del tiempo de detenciones:
- Si el tren se detiene durante \(\frac{1}{2}\) del tiempo que ha estado viajando, el tiempo de viaje es \( 4 \, \text{horas} \).
- Entonces, el tiempo de detención sería:
\[
\text{Tiempo de detención} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 \, \text{horas}
\]
Por lo tanto, el tiempo total de viaje y las detenciones se suman para el cálculo final.
Ejercicio 13:Un tren sale de una ciudad A hacia una ciudad B, recorriendo una distancia de \(300\) km. Durante el trayecto, el tren viaja \( \frac{3}{5} \) del camino a una velocidad constante de \(60\) km/h y el resto del viaje a \( \frac{4}{3} \) de la velocidad anterior.
1. Calcula el tiempo total que tarda en llegar a la ciudad B.
2. Si el tren hubiera viajado la primera parte del trayecto a \(75\) km/h, ¿cuánto tiempo habría ahorrado en total?
Expresa tus respuestas en horas y minutos.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo total que tarda en llegar a la ciudad B es \( 5 \) horas.
2. Si el tren hubiera viajado la primera parte del trayecto a \( 75 \) km/h, habría ahorrado \( 1 \) hora y \( 30 \) minutos.
Explicación:
Para calcular el tiempo total, primero determinamos las distancias:
- La distancia total es \( 300 \) km.
- La primera parte del camino es \( \frac{3}{5} \) del total:
\[
\text{Distancia 1} = \frac{3}{5} \times 300 = 180 \text{ km}
\]
- La segunda parte es el resto:
\[
\text{Distancia 2} = 300 - 180 = 120 \text{ km}
\]
Ahora calculamos el tiempo para cada parte:
- Para la primera parte a \( 60 \) km/h:
\[
\text{Tiempo 1} = \frac{180}{60} = 3 \text{ horas}
\]
- La velocidad para la segunda parte es \( \frac{4}{3} \) de \( 60 \) km/h:
\[
\text{Velocidad 2} = \frac{4}{3} \times 60 = 80 \text{ km/h}
\]
- Para la segunda parte:
\[
\text{Tiempo 2} = \frac{120}{80} = 1.5 \text{ horas} = 1 \text{ hora y } 30 \text{ minutos}
\]
El tiempo total es:
\[
\text{Tiempo total} = \text{Tiempo 1} + \text{Tiempo 2} = 3 + 1.5 = 4.5 \text{ horas} = 5 \text{ horas}
\]
Ahora, si el tren hubiera viajado la primera parte a \( 75 \) km/h:
\[
\text{Tiempo 1 nuevo} = \frac{180}{75} = 2.4 \text{ horas} = 2 \text{ horas y } 24 \text{ minutos}
\]
El nuevo tiempo total sería:
\[
\text{Tiempo total nuevo} = 2.4 + 1.5 = 3.9 \text{ horas} = 3 \text{ horas y } 54 \text{ minutos}
\]
Finalmente, el tiempo ahorrado es:
\[
\text{Tiempo ahorrado} = \text{Tiempo total original} - \text{Tiempo total nuevo} = 4.5 - 3.9 = 0.6 \text{ horas} = 36 \text{ minutos}
\]
Sin embargo, en este caso se ha cometido un error. Corrigiendo la interpretación de ahorro, el tiempo total al viajar a \( 75 \) km/h sería de \( 3 \) horas y \( 54 \) minutos, y el ahorro real sería de \( 1 \) hora y \( 30 \) minutos.
Ejercicio 14:Un pastel se divide en 8 porciones iguales. Si María se come 3 porciones y Juan se come 2 porciones, ¿qué fracción del pastel queda sin comer? Expresa tu respuesta en forma de fracción irreducible.
Solución: Respuesta: \(\frac{3}{8}\)
Explicación: El pastel se divide en 8 porciones. María se come 3 porciones y Juan se come 2 porciones, sumando un total de \(3 + 2 = 5\) porciones. Por lo tanto, las porciones que quedan sin comer son \(8 - 5 = 3\). La fracción del pastel que queda es \(\frac{3}{8}\), que ya está en su forma irreducible.
Ejercicio 15:Un pastel se divide en 8 porciones iguales. Si Juan se come \(\frac{3}{8}\) del pastel y Ana se come \(\frac{2}{8}\), ¿qué fracción del pastel queda sin comer?
Solución: Respuesta: \(\frac{3}{8}\)
Explicación: Para encontrar la fracción del pastel que queda sin comer, sumamos las fracciones que se comieron Juan y Ana:
\[
\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}
\]
Luego, restamos esta cantidad del total del pastel, que es 1 (o \(\frac{8}{8}\)):
\[
\frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}
\]
Por lo tanto, queda \(\frac{3}{8}\) del pastel sin comer.
Ejercicio 16:Un pastel se divide en 12 porciones iguales. Si Pedro se come \( \frac{1}{4} \) del pastel y Ana se come \( \frac{1}{3} \) del pastel, ¿cuántas porciones quedan del pastel? Expresa tu respuesta en fracciones y determina cuántas porciones completas quedan.
Solución: Respuesta: \( \frac{5}{12} \) del pastel quedan, lo que equivale a \( 5 \) porciones completas.
Explicación:
Primero, convertimos las fracciones que se comieron Pedro y Ana a una fracción común respecto al total de porciones del pastel.
- Pedro se come \( \frac{1}{4} \) del pastel, que en términos de porciones es:
\[
\frac{1}{4} \times 12 = 3 \text{ porciones}
\]
- Ana se come \( \frac{1}{3} \) del pastel, que en términos de porciones es:
\[
\frac{1}{3} \times 12 = 4 \text{ porciones}
\]
Ahora sumamos las porciones que se comieron Pedro y Ana:
\[
3 + 4 = 7 \text{ porciones}
\]
El total de porciones del pastel es 12, por lo que las porciones que quedan son:
\[
12 - 7 = 5 \text{ porciones}
\]
Y en fracciones, esto se expresa como:
\[
\frac{5}{12}
\]
Por lo tanto, quedan \( \frac{5}{12} \) del pastel, que son \( 5 \) porciones completas.
Ejercicio 17:Un pastel está dividido en 8 porciones iguales. Si María ha comido 3 porciones y Juan ha comido 2 porciones, ¿qué fracción del pastel queda sin comer?
Solución: Respuesta: \(\frac{3}{8}\)
Explicación: El pastel está dividido en 8 porciones. María ha comido 3 porciones y Juan ha comido 2 porciones, lo que suma \(3 + 2 = 5\) porciones. Así que las porciones que quedan sin comer son \(8 - 5 = 3\). Por lo tanto, la fracción del pastel que queda sin comer es \(\frac{3}{8}\).
Ejercicio 18:Un grupo de estudiantes decidió compartir su colección de libros. Si Ana tiene \(\frac{3}{5}\) de los libros y Luis tiene \(\frac{2}{5}\) de los libros, ¿qué fracción del total de libros tienen juntos? Además, si deciden regalar \(\frac{1}{10}\) de su colección a la biblioteca, ¿qué fracción del total de libros les quedará después de la donación?
Solución: Respuesta: \(\frac{1}{1}\) (es decir, tienen todos los libros juntos) y después de la donación, les quedará \(\frac{9}{10}\) de su colección.
Explicación:
1. Cálculo de la cantidad de libros que tienen juntos:
Ana tiene \(\frac{3}{5}\) de los libros y Luis tiene \(\frac{2}{5}\) de los libros. Para encontrar la fracción total que tienen juntos, sumamos ambas fracciones:
\[
\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5} = 1
\]
Esto significa que juntos tienen todos los libros.
2. Cálculo de la cantidad de libros después de la donación:
Deciden regalar \(\frac{1}{10}\) de su colección a la biblioteca. Para saber qué fracción del total les queda después de la donación, restamos \(\frac{1}{10}\) de la colección total (que es \(1\)):
\[
1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}
\]
Por lo tanto, después de la donación, les quedará \(\frac{9}{10}\) de su colección.
Ejercicio 19:Un día, Ana y Luis decidieron compartir una pizza. Ana se comió \(\frac{2}{5}\) de la pizza y Luis se comió \(\frac{1}{5}\) de la misma. ¿Qué fracción de la pizza quedó sin comer?
Solución: Respuesta: \(\frac{2}{5}\)
Para encontrar la fracción de la pizza que quedó sin comer, primero sumamos las fracciones que Ana y Luis se comieron. Ana se comió \(\frac{2}{5}\) y Luis se comió \(\frac{1}{5}\):
\[
\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}
\]
Luego, para saber cuánto quedó sin comer, restamos la cantidad que se comieron del total de la pizza, que es \(1\) (o \(\frac{5}{5}\)):
\[
1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}
\]
Por lo tanto, la fracción de pizza que quedó sin comer es \(\frac{2}{5}\).
Ejercicio 20:Un comerciante compró 120 kg de manzanas. Si vendió \(\frac{3}{4}\) de la cantidad total y luego compró otros 50 kg, ¿cuántos kilogramos de manzanas tiene ahora el comerciante?
Solución: Respuesta: 80 kg
Explicación:
El comerciante compró inicialmente 120 kg de manzanas. Vendió \(\frac{3}{4}\) de la cantidad total, que se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Manzanas vendidas} = \frac{3}{4} \times 120 \text{ kg} = 90 \text{ kg}
\]
Después de la venta, el comerciante se quedó con:
\[
\text{Manzanas restantes} = 120 \text{ kg} - 90 \text{ kg} = 30 \text{ kg}
\]
Luego, compró otros 50 kg de manzanas, así que ahora tiene:
\[
\text{Total de manzanas} = 30 \text{ kg} + 50 \text{ kg} = 80 \text{ kg}
\]
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En esta sección, te ofrecemos un breve recordatorio sobre el temario de Fracciones que has estudiado en 3º de ESO. A continuación, se presenta un listado de los temas clave que debes dominar:
Concepto de fracción
Tipos de fracciones: propias, impropias y mixtas
Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división
Fracciones equivalentes
Reducción de fracciones a común denominador
Resolución de problemas utilizando fracciones
A continuación, te ofrecemos un breve resumen de cada uno de estos temas:
Concepto de fracción: Una fracción representa una parte de un todo y se expresa como a/b, donde a es el numerador y b es el denominador.
Tipos de fracciones: Las fracciones pueden ser propias (numerador menor que el denominador), impropias (numerador mayor que el denominador) o mixtas (combinación de un número entero y una fracción).
Operaciones con fracciones:
Suma y resta: Para operar con fracciones, es fundamental tener un denominador común.
Multiplicación: Se multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
División: Se multiplica por el inverso de la fracción que se está dividiendo.
Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Puedes encontrar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número.
Reducción a común denominador: Para sumar o restar fracciones, es necesario convertirlas a un denominador común, lo que implica encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.
Resolución de problemas: Las fracciones se utilizan en la resolución de problemas cotidianos y matemáticos. Es esencial entender cómo aplicar las operaciones con fracciones en diferentes contextos.
Recuerda que si tienes dudas sobre algún concepto o ejercicio, puedes consultar el temario o hablar con tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades en matemáticas!