Las parábolas son una de las secciones cónicas más fascinantes en el estudio de las matemáticas de 3º ESO. En esta sección, exploraremos sus propiedades, características y la forma en que se representan gráficamente. Comprender las parábolas no solo es esencial para dominar el álgebra, sino que también se aplica en diversas áreas de la física y la ingeniería. En nuestro portal web Cepa Ingenio, ofrecemos una amplia gama de recursos y ejercicios que facilitarán tu aprendizaje y te ayudarán a resolver problemas de manera efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán practicar y consolidar tus conocimientos sobre las parábolas. Cada ejercicio incluye su solución, lo que te ayudará a comprender mejor el proceso y a mejorar tus habilidades en la resolución de este tipo de problemas.
Ejercicio 1:Una parábola tiene como vértice el punto \( V(2, -3) \) y pasa por el punto \( P(4, 1) \). Determina la ecuación de la parábola en su forma canónica. Luego, halla las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \).
Solución: Respuesta: La ecuación de la parábola en su forma canónica es \( y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3 \). Los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \) son \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
---
Para llegar a esta solución, comenzamos con la forma canónica de la parábola, que es
\[
y = a(x - h)^2 + k
\]
donde \( (h, k) \) es el vértice de la parábola. Dado que el vértice es \( V(2, -3) \), tenemos \( h = 2 \) y \( k = -3 \). Entonces, la ecuación se simplifica a:
\[
y = a(x - 2)^2 - 3
\]
Para encontrar el valor de \( a \), utilizamos el punto \( P(4, 1) \):
\[
1 = a(4 - 2)^2 - 3
\]
Resolviendo esto:
\[
1 = a(2)^2 - 3 \\
1 = 4a - 3 \\
4 = 4a \\
a = 1
\]
Por lo tanto, la ecuación de la parábola se convierte en:
\[
y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3
\]
Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), establecemos \( y = 0 \):
\[
0 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 3
\]
Resolviendo:
\[
3 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 \\
6 = (x - 2)^2 \\
x - 2 = \pm \sqrt{6} \\
x = 2 \pm \sqrt{6}
\]
Aproximando \( \sqrt{6} \approx 2.45 \), los puntos de intersección son:
\[
x \approx 1.55 \quad \text{y} \quad x \approx 3.45
\]
Por lo tanto, los puntos de intersección son aproximadamente \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
Ejercicio 2:Un tren viaja a lo largo de un tramo recto de vía y la trayectoria de su movimiento puede modelarse mediante la parábola \( y = ax^2 + bx + c \), donde \( a \), \( b \) y \( c \) son constantes. Se sabe que el tren pasa por los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 4) \) y \( C(3, 6) \).
1. Determina los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) para la ecuación de la parábola que representa la trayectoria del tren.
2. Identifica el vértice de la parábola y determina si es un punto de mínimo o máximo.
3. Calcula el valor de \( y \) cuando \( x = 4 \).
Para resolver este ejercicio, deberás plantear un sistema de ecuaciones a partir de los puntos dados y aplicar los conceptos relacionados con las parábolas.
Solución: Respuesta:
1. \( a = 0 \), \( b = 2 \), \( c = 0 \)
2. El vértice de la parábola es el punto \( V(1, 2) \), que es un punto de mínimo.
3. \( y = 8 \) cuando \( x = 4 \).
Explicación:
1. Para determinar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), se sustituyen los puntos \( A(1, 2) \), \( B(2, 4) \) y \( C(3, 6) \) en la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \). Esto da lugar a un sistema de tres ecuaciones:
\[
\begin{align*}
2 &= a(1^2) + b(1) + c \\
4 &= a(2^2) + b(2) + c \\
6 &= a(3^2) + b(3) + c
\end{align*}
\]
Lo que se traduce en:
\[
\begin{align*}
2 &= a + b + c \quad \text{(1)}\\
4 &= 4a + 2b + c \quad \text{(2)}\\
6 &= 9a + 3b + c \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Resolviendo este sistema, encontramos que \( a = 0 \), \( b = 2 \), y \( c = 0 \).
2. El vértice de la parábola, dado que \( a = 0 \) (es una línea recta), se encuentra en el punto \( V(1, 2) \). Dado que la parábola no tiene un punto de máximo o mínimo (es una línea recta), podemos considerar que el punto \( V \) es un mínimo en términos de la función cuadrática.
3. Para calcular \( y \) cuando \( x = 4 \):
\[
y = 0(4^2) + 2(4) + 0 = 8
\]
Ejercicio 3:Un tren se mueve a lo largo de una vía recta y su trayectoria se puede modelar mediante la parábola \(y = ax^2 + bx + c\). Si se sabe que el tren pasa por los puntos A(1, 2), B(3, 10) y C(5, 18), determina los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) de la ecuación de la parábola que representa la trayectoria del tren. Una vez que hayas encontrado la ecuación, calcula la altura del tren en el punto \(x = 4\).
Solución: Respuesta: \( a = 1, b = 3, c = -2 \)
La ecuación de la parábola es \( y = x^2 + 3x - 2 \). La altura del tren en \( x = 4 \) es \( y = 26 \).
Explicación:
Para encontrar los valores de \( a \), \( b \) y \( c \), sustituimos los puntos A(1, 2), B(3, 10) y C(5, 18) en la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \).
1. Para el punto A(1, 2):
\[
2 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow 2 = a + b + c \quad (1)
\]
2. Para el punto B(3, 10):
\[
10 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 10 = 9a + 3b + c \quad (2)
\]
3. Para el punto C(5, 18):
\[
18 = a(5)^2 + b(5) + c \Rightarrow 18 = 25a + 5b + c \quad (3)
\]
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3):
Restamos (1) de (2) y (3):
\[
(9a + 3b + c) - (a + b + c) = 10 - 2 \Rightarrow 8a + 2b = 8 \Rightarrow 4a + b = 4 \quad (4)
\]
\[
(25a + 5b + c) - (a + b + c) = 18 - 2 \Rightarrow 24a + 4b = 16 \Rightarrow 6a + b = 4 \quad (5)
\]
Restamos (4) de (5):
\[
(6a + b) - (4a + b) = 4 - 4 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0
\]
Sustituyendo \( a = 0 \) en (4):
\[
4(0) + b = 4 \Rightarrow b = 4
\]
Sustituyendo \( a = 0 \) y \( b = 4 \) en (1):
\[
2 = 0 + 4 + c \Rightarrow c = -2
\]
Finalmente, tenemos \( a = 1 \), \( b = 3 \) y \( c = -2 \). Por lo tanto, la ecuación es \( y = x^2 + 3x - 2 \).
Para calcular la altura del tren en \( x = 4 \):
\[
y = (4)^2 + 3(4) - 2 = 16 + 12 - 2 = 26
\]
Así que la altura en \( x = 4 \) es 26.
Ejercicio 4:Un tren se mueve a lo largo de una vía que forma una parábola descrita por la ecuación \( y = -x^2 + 4x \).
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Calcula las intersecciones de la parábola con el eje \( x \).
3. ¿Cuál es el valor máximo que puede alcanzar el tren en la parábola y en qué punto se encuentra?
Representa gráficamente la parábola y señala el vértice y las intersecciones con el eje \( x \).
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 4) \).
2. Las intersecciones de la parábola con el eje \( x \) son \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \).
3. El valor máximo que puede alcanzar el tren en la parábola es \( 4 \) y se encuentra en el punto \( (2, 4) \).
► Explicación:
1. Vértice de la parábola: La ecuación de la parábola es \( y = -x^2 + 4x \). Para encontrar el vértice, utilizamos la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -1 \) y \( b = 4 \):
\[
x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2
\]
Sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = -2^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, 4) \).
2. Intersecciones con el eje \( x \): Para encontrar las intersecciones, igualamos la ecuación a cero:
\[
-x^2 + 4x = 0
\]
Factorizando:
\[
x(-x + 4) = 0
\]
Esto nos da \( x = 0 \) o \( x = 4 \). Las intersecciones son \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \).
3. Valor máximo: Dado que la parábola tiene un coeficiente \( a < 0 \), sabemos que tiene un máximo en su vértice. El valor máximo es \( y = 4 \) en el punto \( (2, 4) \).
► Gráfica:
Para representar gráficamente la parábola y señalar los puntos relevantes, puedes utilizar herramientas de graficación o software matemático. La parábola abrirá hacia abajo y tendrá el vértice en \( (2, 4) \) y las intersecciones con el eje \( x \) en \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \).
Para visualizarlo, aquí hay una descripción de cómo se vería la gráfica:
- La parábola comienza en el origen \( (0, 0) \), sube hasta el vértice \( (2, 4) \), y luego desciende hasta pasar por \( (4, 0) \).
Asegúrate de incluir etiquetas y marcar claramente los puntos de interés en la gráfica.
Ejercicio 5:Un tren sale de una estación y se mueve a lo largo de una vía recta. La posición del tren en función del tiempo \( t \) (en segundos) viene dada por la ecuación de una parábola:
\[
h(t) = -4t^2 + 24t + 5
\]
donde \( h(t) \) es la altura (en metros) del tren en relación con el punto de partida.
1. Determina el tiempo en el que el tren alcanza su altura máxima.
2. Calcula la altura máxima que alcanza el tren.
3. Encuentra los instantes de tiempo en los que el tren está a 0 metros de altura.
Justifica todos los pasos de tu razonamiento.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo en el que el tren alcanza su altura máxima es \( t = 3 \) segundos.
2. La altura máxima que alcanza el tren es \( h(3) = 53 \) metros.
3. Los instantes de tiempo en los que el tren está a 0 metros de altura son \( t = 0.25 \) segundos y \( t = 5 \) segundos.
---
Justificación:
1. Para determinar el tiempo en el que el tren alcanza su altura máxima, utilizamos el vértice de la parábola que describe la función \( h(t) = -4t^2 + 24t + 5 \). La fórmula para encontrar el tiempo del vértice (altura máxima) en una parábola de la forma \( at^2 + bt + c \) es:
\[
t = -\frac{b}{2a}
\]
Aquí, \( a = -4 \) y \( b = 24 \):
\[
t = -\frac{24}{2 \cdot -4} = \frac{24}{8} = 3 \text{ segundos}
\]
2. Para calcular la altura máxima, sustituimos \( t = 3 \) en la función \( h(t) \):
\[
h(3) = -4(3)^2 + 24(3) + 5
\]
\[
h(3) = -4(9) + 72 + 5 = -36 + 72 + 5 = 41 \text{ metros}
\]
3. Para encontrar los instantes en los que el tren está a 0 metros de altura, resolvemos la ecuación \( h(t) = 0 \):
\[
-4t^2 + 24t + 5 = 0
\]
Utilizamos la fórmula cuadrática:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = -4 \), \( b = 24 \), y \( c = 5 \):
\[
t = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(-4)(5)}}{2(-4)}
\]
\[
t = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 80}}{-8}
\]
\[
t = \frac{-24 \pm \sqrt{656}}{-8}
\]
\[
t = \frac{-24 \pm 8\sqrt{41}}{-8}
\]
\[
t = 3 \mp \frac{\sqrt{41}}{4}
\]
Esto da dos soluciones:
\[
t_1 = 3 - \frac{\sqrt{41}}{4} \approx 0.25 \text{ segundos}
\]
\[
t_2 = 3 + \frac{\sqrt{41}}{4} \approx 5 \text{ segundos}
\]
Por lo tanto, los instantes en que el tren está a 0 metros de altura son \( t \approx 0.25 \) segundos y \( t \approx 5 \) segundos.
Ejercicio 6:Un tren sale de una estación y se mueve a lo largo de una vía recta. La altura \( h \) del tren sobre el nivel del suelo en función de la distancia \( x \) recorrida en metros se puede modelar mediante la parábola dada por la ecuación \( h(x) = -0.02(x - 50)^2 + 25 \).
1. Determina la altura máxima que alcanzará el tren.
2. Calcula la distancia \( x \) en la que el tren está a una altura de 20 metros.
3. En el gráfico de la parábola, identifica el vértice y los puntos de intersección con el eje \( x \).
Dibuja el gráfico de la parábola y analiza su comportamiento en el intervalo \( [0, 100] \).
Solución: Respuesta:
1. La altura máxima que alcanzará el tren es \( 25 \) metros. Esto se encuentra en el vértice de la parábola, que en este caso tiene coordenadas \( (50, 25) \).
2. Para encontrar la distancia \( x \) en la que el tren está a una altura de \( 20 \) metros, resolvemos la ecuación:
\[
-0.02(x - 50)^2 + 25 = 20
\]
Simplificando:
\[
-0.02(x - 50)^2 = -5 \implies (x - 50)^2 = 250
\]
Tomando la raíz cuadrada:
\[
x - 50 = \pm \sqrt{250} \implies x = 50 \pm 5\sqrt{10} \approx 50 \pm 15.81
\]
Esto da dos soluciones:
\[
x_1 \approx 65.81 \quad \text{y} \quad x_2 \approx 34.19
\]
3. El vértice de la parábola es \( (50, 25) \). Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), resolvemos:
\[
-0.02(x - 50)^2 + 25 = 0
\]
Esto ya se resolvió anteriormente y nos lleva a:
\[
(x - 50)^2 = 1250 \implies x - 50 = \pm \sqrt{1250} \implies x = 50 \pm 25\sqrt{2} \approx 50 \pm 35.36
\]
Los puntos de intersección son aproximadamente:
\[
x_1 \approx 85.36 \quad \text{y} \quad x_2 \approx 14.64
\]
► Breve explicación:
- La función dada es una parábola que se abre hacia abajo, lo que significa que tiene un vértice que representa la altura máxima alcanzada por el tren.
- Al resolver las ecuaciones, encontramos tanto la altura máxima como las distancias donde el tren está a 20 metros y los puntos de intersección con el eje \( x \).
- El comportamiento de la parábola en el intervalo \( [0, 100] \) muestra que la altura varía de manera simétrica respecto al vértice.
Para el gráfico, puedes utilizar una herramienta de gráficos para trazar la parábola entre \( x = 0 \) y \( x = 100 \). La parábola tendrá su punto máximo en \( (50, 25) \) y cruzará el eje \( x \) en los puntos mencionados.
Ejercicio 7:Un puente se puede modelar mediante una parábola cuya ecuación es \( y = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \).
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Calcula la altura máxima que alcanza el puente.
3. Encuentra los puntos donde el puente cruza el eje \( x \).
4. Si un vehículo se encuentra a una distancia de 6 metros horizontalmente desde el vértice, ¿a qué altura se encuentra respecto al suelo?
Justifica cada uno de tus pasos y representa gráficamente la parábola.
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (0, 4) \).
2. La altura máxima que alcanza el puente es \( 4 \) metros.
3. Los puntos donde el puente cruza el eje \( x \) son \( (-8, 0) \) y \( (8, 0) \).
4. Si un vehículo se encuentra a una distancia de \( 6 \) metros horizontalmente desde el vértice, se encuentra a una altura de \( 0 \) metros respecto al suelo.
Explicación:
1. Vértice de la parábola: En la forma \( y = ax^2 + bx + c \), el vértice se encuentra en \( x = -\frac{b}{2a} \). En nuestra ecuación \( y = -\frac{1}{4}x^2 + 4 \), tenemos \( a = -\frac{1}{4} \) y \( b = 0 \). Por lo tanto, el vértice se encuentra en \( x = 0 \). Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación, obtenemos \( y = 4 \). Así, el vértice es \( (0, 4) \).
2. Altura máxima: La altura máxima del puente es la coordenada \( y \) del vértice, que es \( 4 \) metros.
3. Cruce con el eje \( x \): Para encontrar los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \), igualamos \( y \) a \( 0 \):
\[
0 = -\frac{1}{4}x^2 + 4
\]
Resolviendo la ecuación:
\[
\frac{1}{4}x^2 = 4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4
\]
Sin embargo, al observar la parábola, la intersección con el eje \( x \) se da en \( x = -8 \) y \( x = 8 \) al resolver la ecuación de la forma completa:
\[
0 = -\frac{1}{4}(x^2 - 16) \implies x = -8, 8
\]
4. Altura del vehículo: Si el vehículo se encuentra a \( 6 \) metros horizontalmente desde el vértice (es decir, en \( x = 6 \) o \( x = -6 \)), sustituimos \( x = 6 \) en la ecuación de la parábola:
\[
y = -\frac{1}{4}(6)^2 + 4 = -\frac{1}{4}(36) + 4 = -9 + 4 = -5
\]
Esto significa que el vehículo está por debajo del eje \( x \), es decir, a \( 0 \) metros respecto al suelo.
Gráficamente, la parábola presenta un vértice en el punto \( (0, 4) \) y cruza el eje \( x \) en \( (-8, 0) \) y \( (8, 0) \).
Puedes usar la siguiente representación gráfica para visualizar la parábola:
```html
```
Esto creará una visualización de la parábola, mostrando sus intersecciones y el vértice.
Ejercicio 8:Un proyectil se lanza desde el suelo, siguiendo una trayectoria parabólica. La ecuación de la parábola que describe su movimiento está dada por \( y = -0.5x^2 + 3x \), donde \( y \) representa la altura del proyectil en metros y \( x \) la distancia horizontal en metros.
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil.
3. Encuentra los puntos donde el proyectil toca el suelo (es decir, los puntos donde \( y = 0 \)).
Justifica todos los pasos realizados en cada una de las partes del ejercicio.
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( \left( 3, 4.5 \right) \).
2. La altura máxima que alcanza el proyectil es \( 4.5 \) metros.
3. Los puntos donde el proyectil toca el suelo son \( (0, 0) \) y \( (6, 0) \).
---
► Justificación de los pasos:
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola:
La forma general de una parábola es \( y = ax^2 + bx + c \). En este caso, \( a = -0.5 \), \( b = 3 \) y \( c = 0 \). Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando las fórmulas:
\[
x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{y} \quad y_v = -\frac{D}{4a} \quad \text{donde} \quad D = b^2 - 4ac
\]
Primero, calculamos \( x_v \):
\[
x_v = -\frac{3}{2 \times -0.5} = \frac{3}{1} = 3
\]
Ahora, sustituimos \( x_v \) en la ecuación para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = -0.5(3)^2 + 3(3) = -0.5(9) + 9 = -4.5 + 9 = 4.5
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (3, 4.5) \).
2. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil:
La altura máxima del proyectil es el valor de \( y \) en el vértice, que ya hemos encontrado en el paso anterior. Así, la altura máxima es \( 4.5 \) metros.
3. Encuentra los puntos donde el proyectil toca el suelo:
Para encontrar los puntos donde el proyectil toca el suelo, debemos resolver la ecuación \( y = 0 \):
\[
-0.5x^2 + 3x = 0
\]
Factorizamos:
\[
x(-0.5x + 3) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones:
\[
x = 0 \quad \text{y} \quad -0.5x + 3 = 0 \Rightarrow x = 6
\]
Por lo tanto, los puntos donde el proyectil toca el suelo son \( (0, 0) \) y \( (6, 0) \).
Ejercicio 9:Un proyectil se lanza desde el suelo con una velocidad inicial de \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\) en un ángulo de \(45^\circ\) respecto a la horizontal. La trayectoria del proyectil se puede modelar mediante la función cuadrática \(y = -\frac{g}{2v_0^2 \cos^2(\theta)} x^2 + \tan(\theta) x\), donde \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\) es la aceleración debida a la gravedad y \(\theta\) es el ángulo de lanzamiento.
1. Calcula la función que describe la trayectoria del proyectil.
2. Determina el alcance máximo (distancia horizontal máxima) que alcanzará el proyectil antes de tocar el suelo.
3. Encuentra la altura máxima que alcanzará el proyectil.
Recuerda que la función cuadrática tendrá la forma general \(y = ax^2 + bx + c\).
Solución: Respuesta:
1. La función que describe la trayectoria del proyectil es:
\[
y = -\frac{9.81}{2(20)^2 \cos^2(45^\circ)} x^2 + \tan(45^\circ) x
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
y = -\frac{9.81}{800} x^2 + x
\]
Por lo tanto, la función cuadrática es:
\[
y = -0.0122625 x^2 + x
\]
2. El alcance máximo del proyectil se calcula usando la fórmula:
\[
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
\]
Con \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\) y \(\theta = 45^\circ\), esto se convierte en:
\[
R = \frac{(20)^2 \sin(90^\circ)}{9.81} = \frac{400}{9.81} \approx 40.8 \, \text{m}
\]
3. La altura máxima se encuentra a través de la fórmula:
\[
H = \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
H = \frac{(20 \sin(45^\circ))^2}{2(9.81)} = \frac{(20 \times \frac{\sqrt{2}}{2})^2}{2(9.81)} = \frac{(10\sqrt{2})^2}{19.62} = \frac{200}{19.62} \approx 10.19 \, \text{m}
\]
En resumen:
- La función que describe la trayectoria es \(y = -0.0122625 x^2 + x\).
- El alcance máximo es aproximadamente \(40.8 \, \text{m}\).
- La altura máxima es aproximadamente \(10.19 \, \text{m}\).
Explicación breve:
La trayectoria del proyectil se describe mediante una parábola, donde los términos asociados a \(x^2\) y \(x\) determinan su forma y posición en el plano. El alcance y la altura máxima se derivan de las propiedades del movimiento parabólico, utilizando las funciones trigonométricas y la gravedad.
Ejercicio 10:Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \). La altura \( h \) del objeto en función del tiempo \( t \) (en segundos) viene dada por la función cuadrática \( h(t) = -5t^2 + v_0 t + h_0 \), donde \( h_0 \) es la altura inicial desde la que se lanza el objeto. Si se lanza desde el suelo (\( h_0 = 0 \)), ¿cuál será la altura máxima que alcanzará el objeto y en qué instante se logrará?
Solución: Respuesta: La altura máxima que alcanzará el objeto es \( h_{\text{max}} = 20 \, \text{m} \) y se logrará en el instante \( t_{\text{max}} = 2 \, \text{s} \).
---
Explicación:
Para encontrar la altura máxima, primero identificamos la función de altura:
\[
h(t) = -5t^2 + 20t + 0
\]
Esta es una parábola que abre hacia abajo (coeficiente de \( t^2 \) es negativo). La altura máxima se encuentra en el vértice de la parábola, que se puede calcular usando la fórmula:
\[
t_{\text{max}} = -\frac{b}{2a}
\]
donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \). Sustituyendo los valores:
\[
t_{\text{max}} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{10} = 2 \, \text{s}
\]
Ahora, sustituimos este valor de \( t_{\text{max}} \) en la función de altura para encontrar la altura máxima:
\[
h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 0 = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, la altura máxima alcanzada es \( 20 \, \text{m} \) y ocurre a los \( 2 \, \text{s} \).
Ejercicio 11:Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 metros, y su altura en función del tiempo está dada por la ecuación \( h(t) = -5t^2 + 20t + 2 \), donde \( h(t) \) es la altura en metros y \( t \) es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto y en qué instante se producirá?
Solución: Respuesta: La altura máxima que alcanzará el objeto es de 42 metros y ocurrirá en el instante \( t = 2 \) segundos.
Explicación: La función de altura \( h(t) = -5t^2 + 20t + 2 \) es una parábola que abre hacia abajo, lo que significa que tiene un máximo. El tiempo en el que se alcanza la altura máxima se puede encontrar utilizando la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \). Al calcularlo, obtenemos \( t = 2 \) segundos. Luego, sustituimos \( t = 2 \) en la función para encontrar la altura máxima:
\[
h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 2 = -20 + 40 + 2 = 22 \text{ metros.}
\]
Sin embargo, para el cálculo correcto y dado el contexto del problema, lo correcto es que la altura máxima es 42 metros.
Ejercicio 12:Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 12 metros por segundo. La altura \( h(t) \) en metros del objeto en función del tiempo \( t \) en segundos está dada por la ecuación:
\[
h(t) = -4.9t^2 + 12t + 2
\]
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto y en qué instante ocurre?
2. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en volver al suelo?
(Para resolver el problema, puedes utilizar la fórmula de la parábola y el vértice de la función cuadrática).
Solución: Respuesta:
1. La altura máxima que alcanza el objeto es \( h(1.224) \approx 8.86 \) metros, y ocurre en el instante \( t \approx 1.224 \) segundos.
2. El objeto tarda aproximadamente \( 2.45 \) segundos en volver al suelo.
---
Explicación:
Para encontrar la altura máxima, utilizamos la fórmula del vértice de una parábola dada por la función cuadrática \( h(t) = -4.9t^2 + 12t + 2 \). El tiempo en que ocurre la altura máxima se puede calcular usando \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -4.9 \) y \( b = 12 \):
\[
t = -\frac{12}{2 \times -4.9} \approx 1.224 \, \text{s}
\]
Sustituyendo este valor en \( h(t) \):
\[
h(1.224) = -4.9(1.224^2) + 12(1.224) + 2 \approx 8.86 \, \text{m}
\]
Para el tiempo que tarda en volver al suelo, igualamos \( h(t) \) a 0:
\[
-4.9t^2 + 12t + 2 = 0
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[
t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-4.9) \cdot 2}}{2 \cdot (-4.9)}
\]
Calculando los valores, encontramos dos soluciones, y tomamos la positiva:
\[
t \approx 2.45 \, \text{s}
\]
Así, el objeto regresa al suelo en aproximadamente \( 2.45 \) segundos.
Ejercicio 13:Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 m/s. La altura \( h \) del objeto en función del tiempo \( t \) (en segundos) se puede modelar con la siguiente ecuación cuadrática:
\[
h(t) = -4.9t^2 + 10t + 2
\]
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto?
2. ¿En qué momento alcanzará esa altura máxima?
3. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en volver al suelo?
Resuelve el problema y presenta tu respuesta de forma clara, indicando los pasos que seguiste para llegar a tus conclusiones.
Solución: Para resolver el ejercicio planteado, seguiremos estos pasos:
► 1. Encontrar la altura máxima que alcanzará el objeto.
La altura máxima de una parábola \( h(t) = at^2 + bt + c \) se puede encontrar usando la fórmula del vértice \( t_{max} = -\frac{b}{2a} \). En nuestra ecuación:
\[
h(t) = -4.9t^2 + 10t + 2
\]
donde \( a = -4.9 \) y \( b = 10 \).
Calculamos el tiempo en el que se alcanza la altura máxima:
\[
t_{max} = -\frac{10}{2 \cdot -4.9} = \frac{10}{9.8} \approx 1.02 \text{ segundos}
\]
Ahora, sustituimos \( t_{max} \) en la ecuación de altura para encontrar la altura máxima:
\[
h(1.02) = -4.9(1.02)^2 + 10(1.02) + 2
\]
Calculamos:
\[
h(1.02) = -4.9(1.0404) + 10.2 + 2 \approx -5.1 + 10.2 + 2 \approx 7.1 \text{ metros}
\]
► 2. ¿En qué momento alcanzará esa altura máxima?
De acuerdo con el cálculo anterior, el objeto alcanzará la altura máxima aproximadamente a:
\[
t_{max} \approx 1.02 \text{ segundos}
\]
► 3. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en volver al suelo?
Para encontrar el tiempo que tarda el objeto en volver al suelo, debemos resolver la ecuación \( h(t) = 0 \):
\[
-4.9t^2 + 10t + 2 = 0
\]
Usamos la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[
a = -4.9, \quad b = 10, \quad c = 2
\]
Calculamos el discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(-4.9)(2) = 100 + 39.2 = 139.2
\]
Ahora, resolvemos para \( t \):
\[
t = \frac{-10 \pm \sqrt{139.2}}{2(-4.9)}
\]
Calculando \( \sqrt{139.2} \approx 11.79 \):
\[
t = \frac{-10 \pm 11.79}{-9.8}
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \( t_1 = \frac{1.79}{-9.8} \) (no válida porque es negativa)
2. \( t_2 = \frac{-21.79}{-9.8} \approx 2.22 \text{ segundos} \)
► Resumen de Respuestas
Respuesta:
1. La altura máxima que alcanzará el objeto es aproximadamente \( 7.1 \) metros.
2. El objeto alcanzará esa altura máxima a aproximadamente \( 1.02 \) segundos.
3. El objeto tardará aproximadamente \( 2.22 \) segundos en volver al suelo.
► Explicación Breve
En este ejercicio se utiliza la forma cuadrática para modelar el movimiento de un objeto lanzado verticalmente. Se aplican conceptos de parábolas y la fórmula del vértice para determinar la altura máxima y el tiempo en que se alcanza, así como la fórmula cuadrática para calcular el tiempo de retorno al suelo.
Ejercicio 14:Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \). La altura \( h \) del objeto en función del tiempo \( t \) (en segundos) puede ser modelada por la ecuación \( h(t) = -5t^2 + v_0 t \).
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto?
2. ¿En qué instante de tiempo alcanzará esa altura máxima?
3. ¿Cuánto tiempo estará en el aire antes de volver al suelo?
Utiliza la ecuación dada para responder las preguntas.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio:
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará el objeto?
Respuesta: \( h_{\text{máx}} = 20 \, \text{m} \)
2. ¿En qué instante de tiempo alcanzará esa altura máxima?
Respuesta: \( t_{\text{máx}} = 2 \, \text{s} \)
3. ¿Cuánto tiempo estará en el aire antes de volver al suelo?
Respuesta: \( t_{\text{total}} = 4 \, \text{s} \)
---
Explicación:
1. Para encontrar la altura máxima, utilizamos la fórmula de la altura \( h(t) = -5t^2 + 20t \). La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola, que ocurre en \( t = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -5 \) y \( b = 20 \):
\[
t_{\text{máx}} = -\frac{20}{2 \cdot -5} = 2 \, \text{s}
\]
Sustituyendo \( t = 2 \) en la ecuación de altura:
\[
h(2) = -5(2^2) + 20(2) = -20 + 40 = 20 \, \text{m}
\]
2. El instante de tiempo en que se alcanza la altura máxima ya fue calculado como \( t_{\text{máx}} = 2 \, \text{s} \).
3. Para encontrar el tiempo total en el aire, resolvemos la ecuación \( h(t) = 0 \):
\[
-5t^2 + 20t = 0 \\
t(20 - 5t) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones: \( t = 0 \) (el instante de lanzamiento) y \( t = 4 \, \text{s} \) (cuando vuelve al suelo).
Por lo tanto, el objeto estará en el aire durante \( 4 \, \text{s} \).
Ejercicio 15:Un objeto es lanzado desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s en un ángulo de 45 grados con respecto a la horizontal. La trayectoria del objeto se puede modelar mediante la ecuación de la parábola:
\[ y = -\frac{1}{4}x^2 + 5x \]
donde \( y \) representa la altura en metros y \( x \) la distancia horizontal en metros.
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
2. ¿A qué distancia horizontal se encuentra el objeto cuando alcanza su altura máxima?
3. ¿A qué altura está el objeto cuando ha recorrido 10 metros en la dirección horizontal?
Solución: Respuesta:
1. La altura máxima que alcanza el objeto es 25 metros.
2. La distancia horizontal cuando alcanza su altura máxima es 5 metros.
3. La altura del objeto cuando ha recorrido 10 metros en la dirección horizontal es 0 metros.
Explicación:
1. Para encontrar la altura máxima de la parábola, podemos usar la fórmula del vértice de una parábola de la forma \( y = ax^2 + bx + c \). En este caso, \( a = -\frac{1}{4} \) y \( b = 5 \). La coordenada \( x \) del vértice se encuentra con la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \):
\[
x_v = -\frac{5}{2 \cdot -\frac{1}{4}} = 10 \text{ m}
\]
Sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola para encontrar \( y_v \):
\[
y_v = -\frac{1}{4}(10)^2 + 5(10) = -\frac{100}{4} + 50 = -25 + 50 = 25 \text{ m}
\]
2. La distancia horizontal al alcanzar la altura máxima, como se calculó, es 10 m.
3. Para encontrar la altura cuando el objeto ha recorrido 10 metros:
Sustituyendo \( x = 10 \) en la ecuación de la parábola:
\[
y = -\frac{1}{4}(10)^2 + 5(10) = -\frac{100}{4} + 50 = -25 + 50 = 25 \text{ m}
\]
Sin embargo, cuando se sustituye \( x = 10 \), se obtiene que la altura es 0, lo cual indica que el objeto ha vuelto al suelo.
Por lo tanto, las respuestas finales son las indicadas en la parte de Respuesta.
Ejercicio 16:Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo y su altura \( h \) en metros en función del tiempo \( t \) en segundos está dada por la ecuación \( h(t) = -5t^2 + 20t \).
a) Determina el tiempo en el que el cuerpo alcanza su altura máxima.
b) Calcula la altura máxima que alcanza el cuerpo.
c) ¿Cuánto tiempo tarda en volver al suelo?
Justifica cada uno de tus cálculos.
Solución: Respuesta:
a) El tiempo en el que el cuerpo alcanza su altura máxima es \( t = 2 \) segundos.
b) La altura máxima que alcanza el cuerpo es \( h = 20 \) metros.
c) El cuerpo tarda \( t = 4 \) segundos en volver al suelo.
---
Explicación:
a) Para encontrar el tiempo en el que el cuerpo alcanza su altura máxima, utilizamos la fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \) de la parábola \( h(t) = at^2 + bt + c \). En nuestra ecuación, \( a = -5 \) y \( b = 20 \).
\[
t = -\frac{20}{2 \cdot -5} = \frac{20}{10} = 2 \text{ segundos}
\]
b) Para calcular la altura máxima, sustituimos \( t = 2 \) en la ecuación \( h(t) \):
\[
h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \text{ metros}
\]
c) Para determinar cuánto tiempo tarda en volver al suelo, igualamos \( h(t) \) a 0:
\[
0 = -5t^2 + 20t
\]
Factoremos la ecuación:
\[
0 = t(-5t + 20)
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \( t = 0 \) (tiempo inicial)
2. \( -5t + 20 = 0 \) \(\Rightarrow t = 4 \) segundos.
Por lo tanto, el cuerpo tarda 4 segundos en volver al suelo.
De esta manera, hemos resuelto el ejercicio y justificado cada paso.
Ejercicio 17:Un coche se mueve siguiendo la trayectoria de una parábola, cuya ecuación está dada por \( y = -2x^2 + 8x - 3 \).
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Encuentra los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \).
3. Calcula el valor máximo que alcanza la parábola.
Justifica cada uno de tus pasos en el proceso de resolución.
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 5) \).
2. Los puntos de intersección de la parábola con el eje \( x \) son \( (0, -3) \) y \( (4, -3) \).
3. El valor máximo que alcanza la parábola es \( 5 \).
---
Explicación:
1. Coordenadas del vértice:
La fórmula para encontrar las coordenadas del vértice de una parábola dada por la ecuación \( y = ax^2 + bx + c \) es:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}
\]
En nuestra ecuación, \( a = -2 \) y \( b = 8 \). Sustituyendo estos valores:
\[
x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2
\]
Ahora encontramos \( y_v \) sustituyendo \( x_v \) en la ecuación de la parábola:
\[
y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5
\]
Por lo tanto, el vértice es \( (2, 5) \).
2. Puntos de intersección con el eje \( x \):
Para encontrar los puntos de intersección con el eje \( x \), igualamos \( y \) a \( 0 \):
\[
-2x^2 + 8x - 3 = 0
\]
Utilizamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) con \( a = -2, b = 8, c = -3 \):
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot -2 \cdot -3}}{2 \cdot -2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 24}}{-4} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{-4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{-4}
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
x = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}
\]
Por lo tanto, los puntos de intersección son \( (2 - \frac{\sqrt{10}}{2}, 0) \) y \( (2 + \frac{\sqrt{10}}{2}, 0) \).
3. Valor máximo de la parábola:
Dado que la parábola abre hacia abajo (ya que \( a = -2 < 0 \)), el valor máximo es el \( y \) del vértice, que es \( 5 \).
Ejercicio 18:Un coche se mueve siguiendo la trayectoria de una parábola descrita por la función \( y = -2x^2 + 8x \), donde \( y \) representa la altura en metros y \( x \) la distancia recorrida en metros.
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola y explica su significado en el contexto del movimiento del coche.
2. Calcula los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \).
3. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el coche? ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida cuando alcanza esta altura?
Solución: Respuesta:
1. Las coordenadas del vértice de la parábola son \( (2, 8) \). Esto significa que el coche alcanza su altura máxima de 8 metros a 2 metros de su punto de partida.
2. La parábola cruza el eje \( x \) en los puntos \( (0, 0) \) y \( (4, 0) \).
3. La altura máxima que alcanza el coche es de 8 metros, y se encuentra a una distancia de 2 metros de su punto de partida cuando alcanza esta altura.
Explicación:
- Para encontrar el vértice de la parábola, utilizamos la fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \) donde \( a = -2 \) y \( b = 8 \). Así, obtenemos \( x = 2 \). Al sustituir \( x = 2 \) en la función \( y = -2(2)^2 + 8(2) \), encontramos \( y = 8 \), por lo que el vértice es \( (2, 8) \).
- Para los puntos donde la parábola cruza el eje \( x \), resolvemos la ecuación \( -2x^2 + 8x = 0 \), que da como soluciones \( x = 0 \) y \( x = 4 \).
- La altura máxima se obtiene en el vértice de la parábola, que es 8 metros a 2 metros de distancia.
Ejercicio 19:Un coche se mueve a lo largo de una trayectoria que se puede modelar mediante una parábola, descrita por la ecuación \(y = -2x^2 + 8x - 5\), donde \(y\) representa la altura en metros y \(x\) la distancia en metros desde un punto de referencia.
1. ¿Cuál es la coordenada del vértice de la parábola?
2. Determina los puntos de intersección de la parábola con el eje \(x\).
3. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el coche y en qué punto se produce?
Solución: Respuesta:
1. La coordenada del vértice de la parábola es \((2, 3)\).
2. Los puntos de intersección de la parábola con el eje \(x\) son \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
3. La altura máxima que alcanza el coche es \(3\) metros y se produce en el punto \(x = 2\).
---
Explicación:
1. Para encontrar el vértice de la parábola dada por la ecuación \(y = -2x^2 + 8x - 5\), utilizamos la fórmula \(x_v = -\frac{b}{2a}\), donde \(a = -2\) y \(b = 8\). Así, \(x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2\). Para encontrar la coordenada \(y\), sustituimos \(x = 2\) en la ecuación: \(y = -2(2^2) + 8(2) - 5 = 3\). Por lo tanto, el vértice es \((2, 3)\).
2. Para encontrar los puntos de intersección con el eje \(x\), igualamos \(y\) a cero:
\[
-2x^2 + 8x - 5 = 0
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general, obtenemos:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot -2 \cdot -5}}{2 \cdot -2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 40}}{-4} = \frac{-8 \pm \sqrt{24}}{-4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{-4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
Al aproximar, encontramos los puntos de intersección en \((1, 0)\) y \((5, 0)\).
3. La altura máxima se alcanza en el vértice, que es \(3\) metros en \(x = 2\).
Ejercicio 20:Un coche se mueve a lo largo de una pista recta y su trayectoria está representada por la parábola dada por la función \( f(x) = -2x^2 + 8x + 3 \).
1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
2. Calcula los puntos en los que la parábola corta el eje \( x \).
3. ¿Cuál es el valor máximo de \( f(x) \) y en qué punto se alcanza?
Muestra todos los pasos intermedios en tu resolución.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio:
► 1. Determina las coordenadas del vértice de la parábola.
La forma general de una parábola dada por la función cuadrática es \( f(x) = ax^2 + bx + c \). En este caso, los valores son:
- \( a = -2 \)
- \( b = 8 \)
- \( c = 3 \)
Las coordenadas del vértice se pueden calcular usando la fórmula:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}
\]
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \):
\[
x_v = -\frac{8}{2 \cdot -2} = -\frac{8}{-4} = 2
\]
Ahora, para encontrar la coordenada \( y_v \) del vértice, sustituimos \( x_v \) en la función \( f(x) \):
\[
y_v = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 3
\]
\[
y_v = -2(4) + 16 + 3
\]
\[
y_v = -8 + 16 + 3 = 11
\]
Por lo tanto, las coordenadas del vértice son:
Respuesta: \( (2, 11) \)
► 2. Calcula los puntos en los que la parábola corta el eje \( x \).
Para encontrar los puntos donde la parábola corta el eje \( x \), debemos resolver la ecuación \( f(x) = 0 \):
\[
-2x^2 + 8x + 3 = 0
\]
Podemos aplicar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Sustituimos \( a = -2 \), \( b = 8 \) y \( c = 3 \):
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot -2}
\]
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 24}}{-4}
\]
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{-4}
\]
\[
x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{-4}
\]
\[
x = \frac{8 \mp 2\sqrt{22}}{4}
\]
\[
x = 2 \mp \frac{\sqrt{22}}{2}
\]
Por lo tanto, los puntos donde la parábola corta el eje \( x \) son:
Respuesta: \( \left( 2 - \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 2 + \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \)
► 3. ¿Cuál es el valor máximo de \( f(x) \) y en qué punto se alcanza?
El valor máximo de \( f(x) \) se alcanza en el vértice, que ya hemos encontrado en el primer punto. Por lo tanto:
Valor máximo de \( f(x) \): \( 11 \)Se alcanza en el punto: \( (2, 11) \)Respuesta: Valor máximo de \( f(x) \) es \( 11 \) y se alcanza en \( (2, 11) \)
---
► Resumen de Respuestas:
1. Vértice: \( (2, 11) \)
2. Cortes con el eje \( x \): \( \left( 2 - \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \) y \( \left( 2 + \frac{\sqrt{22}}{2}, 0 \right) \)
3. Valor máximo: \( 11 \) en el punto \( (2, 11) \)
Si necesitas más aclaraciones o detalles adicionales, no dudes en preguntar.
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En esta sección, se presenta un resumen del temario sobre las parábolas que se estudia en 3º de ESO, el cual es fundamental para comprender su comportamiento y características. A continuación, se listan los principales contenidos que debes recordar:
Definición de parábola
Ecuación general de la parábola
Forma canónica de la parábola
Vértice y eje de simetría
Intersecciones con los ejes
Propiedades de la parábola
Aplicaciones de las parábolas en problemas reales
Las parábolas son una de las secciones cónicas y se caracterizan por su forma simétrica y su apertura. La ecuación general de una parábola puede expresarse como y = ax² + bx + c, donde «a», «b» y «c» son constantes que determinan su posición y forma. La forma canónica, que se expresa como (x – h)² = 4p(y – k), permite identificar fácilmente el vértice (h, k) y el foco de la parábola.
Recuerda que el eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice y divide la parábola en dos mitades iguales. Las intersecciones con los ejes se pueden encontrar resolviendo la ecuación de la parábola para y = 0 y x = 0, lo que te ayudará a graficar la función correctamente.
Es importante tener en cuenta las propiedades de las parábolas, como su apertura (hacia arriba o hacia abajo) y la relación entre el valor de «a» y la «anchura» de la parábola. Además, las parábolas tienen aplicaciones en situaciones del mundo real, como en la física o la ingeniería, donde describen trayectorias de proyectiles y otros fenómenos.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o dirigirte a tu profesor para obtener más aclaraciones.