Ejercicios y Problemas de Funciones lineales 3º ESO
Las funciones lineales son uno de los conceptos fundamentales en el estudio de las matemáticas en 3º de ESO. Estas funciones permiten representar relaciones entre variables de manera sencilla y clara, siendo esenciales para resolver problemas en diversas áreas. En esta sección, exploraremos las características de las funciones lineales, sus gráficas y cómo se aplican en situaciones cotidianas. Además, proporcionaremos recursos para que los estudiantes puedan practicar y afianzar sus conocimientos.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre funciones lineales que te ayudarán a comprender mejor este tema. Cada ejercicio incluye su solución, permitiéndote aprender de forma efectiva y consolidar tus habilidades matemáticas.
Ejercicio 1:Una tienda vende camisetas a un precio de \(15\) euros cada una. Además, cobra un coste fijo de \(30\) euros por gastos de envío.
1. Escribe la función lineal que representa el coste total \(C\) en función del número de camisetas \(x\) que se compran.
2. ¿Cuántas camisetas deben comprarse para que el coste total sea igual a \(120\) euros?
3. Si se desea un presupuesto máximo de \(150\) euros, ¿cuál es el número máximo de camisetas que se pueden comprar?
Solución: Respuesta:
1. La función lineal que representa el coste total \(C\) en función del número de camisetas \(x\) es:
\[
C(x) = 15x + 30
\]
2. Para encontrar cuántas camisetas deben comprarse para que el coste total sea igual a \(120\) euros, igualamos la función a \(120\):
\[
15x + 30 = 120
\]
Restamos \(30\) de ambos lados:
\[
15x = 90
\]
Dividimos entre \(15\):
\[
x = 6
\]
Por lo tanto, se deben comprar 6 camisetas.
3. Si se desea un presupuesto máximo de \(150\) euros, igualamos la función a \(150\):
\[
15x + 30 = 150
\]
Restamos \(30\) de ambos lados:
\[
15x = 120
\]
Dividimos entre \(15\):
\[
x = 8
\]
Así que el número máximo de camisetas que se pueden comprar es 8 camisetas.
Explicación breve:
La función \(C(x) = 15x + 30\) incluye el coste variable por cada camiseta (\(15x\)) y un coste fijo de envíos (\(30\) euros). Luego, resolvemos las ecuaciones para encontrar los valores solicitados.
Ejercicio 2:Una tienda vende camisetas a un precio de \( x \) euros cada una. Si un cliente compra 5 camisetas, el costo total es de \( 5x \) euros.
1. Escribe la función lineal que representa el costo total \( C \) en función del número de camisetas \( n \) compradas.
2. Si el precio de cada camiseta es de 12 euros, calcula el costo total para 8 camisetas.
3. ¿Cuántas camisetas puede comprar un cliente si su presupuesto es de 60 euros?
Solución: Respuesta:
1. La función lineal que representa el costo total \( C \) en función del número de camisetas \( n \) compradas es:
\[
C(n) = xn
\]
2. Si el precio de cada camiseta es de 12 euros, el costo total para 8 camisetas es:
\[
C(8) = 12 \times 8 = 96 \text{ euros}
\]
3. Si un cliente tiene un presupuesto de 60 euros, el número de camisetas que puede comprar se calcula dividiendo su presupuesto entre el precio de cada camiseta:
\[
n = \frac{60}{12} = 5
\]
Por lo tanto, el cliente puede comprar 5 camisetas.
Explicación breve:
1. En la función \( C(n) = xn \), \( x \) representa el precio de cada camiseta y \( n \) es el número de camisetas compradas. La función es lineal porque el costo total aumenta de manera proporcional al número de camisetas que se compran.
2. Al sustituir el precio de la camiseta en la función, se obtiene el costo total para una cantidad específica de camisetas.
3. Para determinar cuántas camisetas puede comprar un cliente con un presupuesto dado, se utiliza una simple división del presupuesto entre el precio unitario de la camiseta.
Ejercicio 3:Una tienda vende camisetas a 15 euros cada una. Si el dueño de la tienda gasta 120 euros en la compra de camisetas, ¿cuántas camisetas puede comprar? Además, si el dueño decide vender las camisetas a un precio de 20 euros cada una, ¿cuál será su ingreso total si vende todas las camisetas compradas? Representa la relación entre el número de camisetas compradas y el costo total mediante una función lineal.
Solución: Respuesta: El dueño de la tienda puede comprar 8 camisetas. Si vende todas las camisetas a 20 euros cada una, su ingreso total será de 160 euros.
Explicación:
1. Para determinar cuántas camisetas puede comprar, se utiliza la siguiente fórmula:
\[
\text{Número de camisetas} = \frac{\text{Gasto total}}{\text{Precio por camiseta}} = \frac{120 \text{ euros}}{15 \text{ euros/camiseta}} = 8 \text{ camisetas}
\]
2. Si el dueño vende las camisetas a 20 euros cada una, el ingreso total se calcula de la siguiente manera:
\[
\text{Ingreso total} = \text{Número de camisetas} \times \text{Precio de venta} = 8 \text{ camisetas} \times 20 \text{ euros/camiseta} = 160 \text{ euros}
\]
3. La relación entre el número de camisetas compradas \( x \) y el costo total \( C \) se puede representar mediante la función lineal:
\[
C(x) = 15x
\]
donde \( C(x) \) es el costo total en euros y \( x \) es el número de camisetas compradas.
Ejercicio 4:Una tienda vende camisetas a 15 euros cada una. Si al inicio del día la tienda tiene 30 camisetas en stock, plantea la función lineal que represente el ingreso total \( I \) en euros en función del número de camisetas vendidas \( x \). ¿Cuánto ingresará la tienda si vende 10 camisetas?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa el ingreso total \( I \) en euros en función del número de camisetas vendidas \( x \) es \( I(x) = 15x \). Si vende 10 camisetas, ingresará \( I(10) = 15 \times 10 = 150 \) euros.
Explicación: La función \( I(x) = 15x \) se forma multiplicando el precio de cada camiseta (15 euros) por el número de camisetas vendidas \( x \). Al sustituir \( x \) por 10, podemos calcular el ingreso total por la venta de 10 camisetas, que resulta ser 150 euros.
Ejercicio 5:Una tienda vende camisetas a 15 euros cada una y sudaderas a 30 euros cada una. Si un cliente compra un total de 10 prendas y gasta 240 euros, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para determinar cuántas camisetas y cuántas sudaderas compró.
Solución: Respuesta: Compró 6 camisetas y 4 sudaderas.
Para resolver el problema, planteamos un sistema de ecuaciones. Sea \( x \) el número de camisetas y \( y \) el número de sudaderas. Según el enunciado, tenemos las siguientes dos ecuaciones:
1. \( x + y = 10 \) (total de prendas)
2. \( 15x + 30y = 240 \) (total gastado en euros)
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones:
De la primera ecuación, podemos despejar \( y \):
\[
y = 10 - x
\]
Sustituyendo \( y \) en la segunda ecuación:
\[
15x + 30(10 - x) = 240
\]
Simplificando:
\[
15x + 300 - 30x = 240
\]
\[
-15x + 300 = 240
\]
Restamos 300 a ambos lados:
\[
-15x = -60
\]
Dividiendo entre -15:
\[
x = 4
\]
Ahora sustituimos \( x \) en la ecuación para \( y \):
\[
y = 10 - 4 = 6
\]
Por lo tanto, el cliente compró 4 camisetas y 6 sudaderas.
Ejercicio 6:Una tienda de bicicletas vende dos tipos de modelos: bicicletas de montaña y bicicletas de carretera. El precio de una bicicleta de montaña es de $300 y el precio de una bicicleta de carretera es de $400. Si se venden \(x\) bicicletas de montaña y \(y\) bicicletas de carretera, la función de ingresos \(I\) se puede expresar como:
\[ I(x, y) = 300x + 400y \]
1. Si la tienda establece como objetivo obtener un ingreso de al menos $10,000, plantea la inecuación que representa esta condición.
2. Además, si la tienda tiene un límite de 40 bicicletas que puede vender en total, plantea la inecuación que representa esta restricción.
3. Resuelve el sistema de inecuaciones y determina las combinaciones posibles de bicicletas de montaña y bicicletas de carretera que cumplen con ambas condiciones.
Solución: Respuesta:
1. La inecuación que representa el objetivo de obtener un ingreso de al menos $10,000 es:
\[ 300x + 400y \geq 10000 \]
2. La inecuación que representa el límite de 40 bicicletas que puede vender en total es:
\[ x + y \leq 40 \]
3. Para resolver el sistema de inecuaciones, tenemos:
\[
\begin{cases}
300x + 400y \geq 10000 \\
x + y \leq 40
\end{cases}
\]
Primero, simplificamos la primera inecuación dividiendo todos los términos entre 100:
\[
3x + 4y \geq 100
\]
Ahora, el sistema se presenta como:
\[
\begin{cases}
3x + 4y \geq 100 \\
x + y \leq 40
\end{cases}
\]
Para encontrar las combinaciones posibles de \(x\) (bicicletas de montaña) y \(y\) (bicicletas de carretera), resolvemos el sistema.
1. De la segunda inecuación, despejamos \(y\):
\[
y \leq 40 - x
\]
2. Sustituyendo \(y\) en la primera inecuación:
\[
3x + 4(40 - x) \geq 100 \\
3x + 160 - 4x \geq 100 \\
-x + 160 \geq 100 \\
-x \geq -60 \\
x \leq 60
\]
Sin embargo, como \(x + y \leq 40\), \(x\) no puede ser mayor que 40. Por lo tanto, ahora tenemos:
\[
0 \leq x \leq 40
\]
3. Ahora, sustituimos \(x\) en la inecuación de ingreso:
\[
3x + 4y \geq 100
\]
Si \(x = 0\):
\[
4y \geq 100 \implies y \geq 25
\]
Si \(x = 40\):
\[
3(40) + 4y \geq 100 \implies 120 + 4y \geq 100 \implies 4y \geq -20 \implies y \geq 0
\]
En resumen, las combinaciones posibles de \(x\) y \(y\) que cumplen ambas condiciones son:
\[
\begin{cases}
x \geq 0 \\
y \geq 25 \\
x + y \leq 40
\end{cases}
\]
Por lo tanto, la solución es que:
- \(x\) puede estar entre 0 y 40, pero \(y\) debe ser al menos 25.
- En consecuencia, \(y\) puede estar entre 25 y 40, dado que \(x + y \leq 40\).
Esto implica que las combinaciones validas son:
\[
\begin{cases}
x = 0, \, y = 25 \\
x = 1, \, y = 24 \\
x = 2, \, y = 23 \\
\vdots \\
x = 15, \, y = 25 \\
x = 16, \, y = 24 \\
\vdots \\
x = 40, \, y = 0 \\
\end{cases}
\]
Por lo tanto, las combinaciones posibles de bicicletas de montaña y bicicletas de carretera que cumplen las condiciones son todas las combinaciones donde \(x\) puede variar de 0 a 15, y de acuerdo con esto, \(y\) variará para mantener \(x + y \leq 40\).
Ejercicio 7:Una empresa de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de 5 euros por el uso de la bicicleta, más 1,50 euros por cada hora de alquiler.
1. Escribe la función lineal que representa el costo total \( C \) en euros en función del número de horas \( h \) de alquiler.
2. Calcula el costo total si un cliente alquila la bicicleta durante 4 horas.
3. Si un cliente desea que el costo total no supere los 20 euros, ¿cuál es el número máximo de horas que puede alquilar la bicicleta?
Solución: Respuesta:
1. La función lineal que representa el costo total \( C \) en euros en función del número de horas \( h \) de alquiler es:
\[
C(h) = 5 + 1.5h
\]
2. El costo total si un cliente alquila la bicicleta durante 4 horas se calcula sustituyendo \( h = 4 \) en la función:
\[
C(4) = 5 + 1.5 \cdot 4 = 5 + 6 = 11 \text{ euros}
\]
3. Si un cliente desea que el costo total no supere los 20 euros, planteamos la siguiente desigualdad:
\[
5 + 1.5h \leq 20
\]
Restamos 5 a ambos lados:
\[
1.5h \leq 15
\]
Dividimos entre 1.5:
\[
h \leq 10
\]
Por lo tanto, el número máximo de horas que puede alquilar la bicicleta es:
\[
h = 10
\]
---
Explicación:
La función lineal \( C(h) \) incluye una tarifa fija de 5 euros más un costo variable de 1.50 euros por cada hora. Al resolver la desigualdad, encontramos que el cliente puede alquilar la bicicleta un máximo de 10 horas sin que el costo total supere los 20 euros.
Ejercicio 8:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80\) km/h. Al mismo tiempo, otro tren sale de otra estación situada a \(120\) km de distancia de la primera, viajando a una velocidad constante de \(100\) km/h en dirección hacia la primera estación.
1. Establece las funciones lineales que representan la distancia recorrida por cada tren en función del tiempo \(t\) (en horas).
2. Determina el tiempo \(t\) en el que ambos trenes se encontrarán.
3. Calcula la distancia recorrida por cada tren en el momento en que se cruzan.
Indica claramente los pasos utilizados para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. Las funciones lineales que representan la distancia recorrida por cada tren en función del tiempo \(t\) (en horas) son:
- Para el tren que sale de la primera estación:
\[
d_1(t) = 80t
\]
- Para el tren que sale de la segunda estación:
\[
d_2(t) = 120 - 100t
\]
2. Para determinar el tiempo \(t\) en el que ambos trenes se encuentran, igualamos las dos funciones de distancia:
\[
80t = 120 - 100t
\]
Sumamos \(100t\) a ambos lados:
\[
180t = 120
\]
Dividimos ambos lados entre \(180\):
\[
t = \frac{120}{180} = \frac{2}{3} \text{ horas}
\]
3. Para calcular la distancia recorrida por cada tren en el momento en que se cruzan, sustituimos \(t = \frac{2}{3}\) en ambas funciones:
- Distancia recorrida por el primer tren:
\[
d_1\left(\frac{2}{3}\right) = 80 \cdot \frac{2}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \text{ km}
\]
- Distancia recorrida por el segundo tren:
\[
d_2\left(\frac{2}{3}\right) = 120 - 100 \cdot \frac{2}{3} = 120 - \frac{200}{3} = \frac{360 - 200}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \text{ km}
\]
Breve explicación:
En este ejercicio, establecimos las funciones lineales de distancia en función del tiempo para ambos trenes. Luego, al igualar las distancias, encontramos el tiempo en que se cruzan y calculamos la distancia recorrida por cada tren en ese momento.
Ejercicio 9:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Otro tren sale de la misma estación 30 minutos después y viaja a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. ¿A qué distancia de la estación se encontrarán los dos trenes?
2. Plantea la función lineal que representa la distancia recorrida por cada uno de los trenes en función del tiempo desde que sale el primer tren.
Solución: Respuesta:
1. Los dos trenes se encontrarán a una distancia de \(400 \, \text{km}\) de la estación.
2. La función lineal que representa la distancia recorrida por cada uno de los trenes en función del tiempo \(t\) (en horas) desde que sale el primer tren es:
- Para el primer tren:
\[
d_1(t) = 80t
\]
- Para el segundo tren (que sale 0.5 horas después):
\[
d_2(t) = 100(t - 0.5) \quad \text{(para } t \geq 0.5\text{)}
\]
► Breve explicación:
Para encontrar la distancia en la que se encuentran los trenes, igualamos las distancias recorridas:
\[
80t = 100(t - 0.5)
\]
Resolviendo esta ecuación:
\[
80t = 100t - 50
\]
\[
50 = 100t - 80t
\]
\[
50 = 20t
\]
\[
t = 2.5 \, \text{horas}
\]
Sustituyendo \(t\) en la función del primer tren para encontrar la distancia:
\[
d_1(2.5) = 80 \times 2.5 = 200 \, \text{km}
\]
Sustituyendo \(t\) en la función del segundo tren:
\[
d_2(2.5) = 100(2.5 - 0.5) = 100 \times 2 = 200 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, ambos trenes se encontrarán a \(200 \, \text{km}\) de la estación.
Ejercicio 10:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un coche comienza a desplazarse desde la misma estación en dirección opuesta a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. Plantea la función lineal que representa la distancia total entre el tren y el coche en función del tiempo \(t\) en horas.
2. Calcula la distancia entre el tren y el coche después de \(3\) horas.
3. ¿En qué momento (en horas) la distancia entre el tren y el coche será de \(540 \, \text{km}\)?
Solución: Respuesta:
1. La función lineal que representa la distancia total entre el tren y el coche en función del tiempo \(t\) en horas es:
\[
D(t) = 80t + 100t = 180t
\]
2. La distancia entre el tren y el coche después de \(3\) horas es:
\[
D(3) = 180 \times 3 = 540 \, \text{km}
\]
3. La distancia entre el tren y el coche será de \(540 \, \text{km}\) cuando:
\[
180t = 540
\]
Resolviendo para \(t\):
\[
t = \frac{540}{180} = 3 \, \text{horas}
\]
---
Breve explicación:
- La distancia total entre el tren y el coche se suma, ya que se mueven en direcciones opuestas. Por eso, la distancia total es la suma de las distancias recorridas por el tren y el coche.
- Al calcular la distancia a las \(3\) horas, se utiliza la función lineal que hemos planteado, y se verifica que la distancia es la misma cuando se resuelve para \(t\) igual a \(3\) horas, confirmando que ambos vehículos habrán recorrido la misma distancia en ese tiempo.
Ejercicio 11:Un tren sale de una estación y viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un automóvil sale de la misma estación en dirección opuesta y viaja a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. Escribe la función lineal que representa la distancia total \(D(t)\), en kilómetros, entre el tren y el automóvil en función del tiempo \(t\) en horas.
2. ¿Cuánto tiempo tardarán en estar a una distancia total de \(540 \, \text{km}\) entre ellos?
3. Representa gráficamente la función \(D(t)\) y determina el punto de intersección con la recta \(D(t) = 540\).
Solución: Respuesta:
1. La función lineal que representa la distancia total \(D(t)\) entre el tren y el automóvil en función del tiempo \(t\) es:
\[
D(t) = 80t + 100t = 180t
\]
2. Para encontrar el tiempo \(t\) en el que la distancia total es \(540 \, \text{km}\), planteamos la ecuación:
\[
D(t) = 540
\]
Sustituyendo la función:
\[
180t = 540
\]
Resolviendo para \(t\):
\[
t = \frac{540}{180} = 3 \, \text{horas}
\]
3. La representación gráfica de la función \(D(t) = 180t\) es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente \(180\). Para encontrar el punto de intersección con la recta \(D(t) = 540\), observamos que ya hemos encontrado este punto al resolver \(D(t) = 540\):
\[
t = 3 \, \text{horas}
\]
El punto de intersección es \((3, 540)\).
Breve explicación:
La función \(D(t)\) se obtiene sumando las distancias recorridas por el tren y el automóvil, que se desplazan en direcciones opuestas. Al resolver la ecuación para \(D(t) = 540\), encontramos que tardan 3 horas en estar a esa distancia total. La gráfica muestra cómo la distancia total entre ambos vehículos aumenta con el tiempo.
Ejercicio 12:Un tren sale de una estación y su velocidad se puede modelar mediante la función lineal \( v(t) = 60 + 10t \), donde \( v(t) \) es la velocidad en km/h y \( t \) es el tiempo en horas desde que el tren salió de la estación.
1. ¿Cuál será la velocidad del tren después de 3 horas?
2. Si el tren mantiene esta velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 240 km desde su salida?
3. Representa gráficamente la función \( v(t) \) en el intervalo \( t \in [0, 5] \) y determina su pendiente e intercepto con el eje de las \( v(t) \).
Solución: Respuesta:
1. La velocidad del tren después de 3 horas es:
\[
v(3) = 60 + 10 \cdot 3 = 60 + 30 = 90 \text{ km/h}
\]
2. Si el tren mantiene esta velocidad, el tiempo que tardará en recorrer 240 km es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{240 \text{ km}}{90 \text{ km/h}} \approx 2.67 \text{ horas} \text{ (o 2 horas y 40 minutos)}
\]
3. La representación gráfica de la función \( v(t) = 60 + 10t \) en el intervalo \( t \in [0, 5] \) es una línea recta.
- La pendiente de la función es \( 10 \), lo que indica que la velocidad aumenta en \( 10 \text{ km/h} \) por cada hora que pasa.
- El intercepto con el eje de las \( v(t) \) es \( 60 \), que es la velocidad inicial del tren al salir de la estación.
Puedes graficar la función en un sistema de coordenadas donde el eje \( x \) representa el tiempo \( t \) y el eje \( y \) representa la velocidad \( v(t) \). La línea comenzará en \( (0, 60) \) y terminará en \( (5, 110) \).
Ejercicio 13:Un tren sale de una estación y su distancia \( d \) en kilómetros de la estación después de \( t \) horas se puede modelar con la función lineal \( d(t) = 80t \).
1. ¿Cuál es la interpretación de la pendiente en este contexto?
2. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido el tren después de 3 horas?
3. Si el tren continúa a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 240 kilómetros?
Responde a las preguntas y justifica tus respuestas.
Solución: Respuesta:
1. La interpretación de la pendiente en este contexto es que el tren se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora. Esto significa que por cada hora que pasa, el tren recorre 80 kilómetros.
2. Después de 3 horas, el tren habrá recorrido \( d(3) = 80 \cdot 3 = 240 \) kilómetros.
3. Si el tren continúa a la misma velocidad, tardará \( t = \frac{240}{80} = 3 \) horas en recorrer 240 kilómetros.
Explicación:
- La función lineal \( d(t) = 80t \) indica que la distancia \( d \) es directamente proporcional al tiempo \( t \), con una pendiente de 80 que representa la velocidad del tren.
- Para calcular la distancia recorrida en 3 horas, simplemente sustituimos \( t \) por 3 en la función.
- Para determinar el tiempo necesario para recorrer 240 kilómetros, dividimos la distancia total por la velocidad del tren.
Ejercicio 14:Un tren sale de una estación y se mueve a una velocidad constante de 60 km/h. Si el tren parte a las 10:00 AM, ¿a qué hora llegará a una estación que se encuentra a 150 km de distancia? Representa la situación mediante una función lineal, donde el tiempo \( t \) en horas es la variable independiente y la distancia \( d \) en kilómetros es la variable dependiente. Escribe la ecuación de la función y calcula el tiempo de llegada del tren.
Solución: Respuesta: El tren llegará a la estación a las 11:30 AM.
Explicación:
Para representar la situación con una función lineal, definimos las variables:
- \( d \): distancia en kilómetros (variable dependiente)
- \( t \): tiempo en horas (variable independiente)
La relación entre distancia, velocidad y tiempo se puede expresar con la fórmula:
\[
d = v \cdot t
\]
Donde \( v \) es la velocidad del tren, que es de 60 km/h. Por lo tanto, la ecuación de la función lineal que relaciona la distancia y el tiempo es:
\[
d = 60t
\]
Para encontrar el tiempo que tarda el tren en recorrer 150 km, sustituimos \( d = 150 \) en la ecuación:
\[
150 = 60t
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{150}{60} = 2.5 \text{ horas}
\]
Dado que el tren parte a las 10:00 AM, sumamos 2.5 horas:
- 2 horas y 30 minutos después de las 10:00 AM es 11:30 AM.
Por lo tanto, el tren llegará a la estación a las 11:30 AM.
Ejercicio 15:Un tren sale de una estación y se mueve a una velocidad constante de 60 km/h. Escribe la función lineal que representa la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, calcula la distancia recorrida después de 3 horas.
Solución: Respuesta: \( d(t) = 60t \) y la distancia recorrida después de 3 horas es \( d(3) = 180 \) km.
Explicación: La función lineal que representa la distancia recorrida \(d\) en función del tiempo \(t\) se puede expresar como \( d(t) = vt \), donde \(v\) es la velocidad del tren. En este caso, la velocidad es de 60 km/h, por lo que la función queda como \( d(t) = 60t \). Para calcular la distancia recorrida después de 3 horas, sustituimos \(t = 3\) en la función:
\[
d(3) = 60 \cdot 3 = 180 \text{ km}
\]
Ejercicio 16:Un tren sale de una estación y se mueve a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). La distancia recorrida \(d\) en kilómetros después de \(t\) horas se puede expresar mediante la función lineal \(d(t) = 80t\).
1. ¿Cuál es la distancia recorrida después de \(3\) horas?
2. Si el tren sigue viajando a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer \(240 \, \text{km}\)?
3. Representa gráficamente la función \(d(t)\) en un intervalo de \(0\) a \(5\) horas.
Recuerda etiquetar los ejes y señalar el punto donde \(t = 3\).
Solución: Respuesta:
1. La distancia recorrida después de \(3\) horas es:
\[
d(3) = 80 \cdot 3 = 240 \, \text{km}
\]
2. Para determinar cuánto tiempo tardará en recorrer \(240 \, \text{km}\):
\[
240 = 80t \implies t = \frac{240}{80} = 3 \, \text{horas}
\]
3. La representación gráfica de la función \(d(t) = 80t\) en el intervalo de \(0\) a \(5\) horas es la siguiente:
- Eje \(x\): Tiempo \(t\) (horas)
- Eje \(y\): Distancia \(d\) (kilómetros)
- La función será una línea recta que comienza en el origen \((0, 0)\) y termina en \((5, 400)\).
- El punto donde \(t = 3\) es \((3, 240)\).
Aquí tienes una representación gráfica de la función:
\[
\text{Gráfica de } d(t) = 80t
\]
Explicación breve:
La función \(d(t) = 80t\) representa la distancia recorrida por el tren en función del tiempo. La pendiente de la función es \(80\), lo que indica que por cada hora, el tren recorre \(80 \, \text{km}\). Para resolver las preguntas, simplemente sustituimos el tiempo en la función o despejamos para encontrar el tiempo necesario para recorrer una distancia dada.
Ejercicio 17:Un tren sale de una estación y se mueve a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Escribe la ecuación de la función lineal que representa la distancia \(d\) (en kilómetros) recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) (en horas). Luego, calcula la distancia que recorrerá el tren en 3 horas y 30 minutos.
Solución: Respuesta: La ecuación de la función lineal es \( d(t) = 80t \). La distancia recorrida en 3 horas y 30 minutos es \( 280 \, \text{km} \).
Explicación: La ecuación \( d(t) = 80t \) representa la distancia \( d \) en kilómetros en función del tiempo \( t \) en horas, donde \( 80 \, \text{km/h} \) es la velocidad constante del tren. Para calcular la distancia recorrida en 3 horas y 30 minutos, primero convertimos 30 minutos a horas: \( 30 \, \text{min} = 0.5 \, \text{h} \). Entonces, el tiempo total es \( 3 + 0.5 = 3.5 \, \text{h} \). Sustituyendo en la ecuación:
\[
d(3.5) = 80 \times 3.5 = 280 \, \text{km}
\]
Ejercicio 18:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra, manteniendo una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, un automóvil sale de la misma estación en dirección a la misma ciudad, pero a una velocidad constante de \(100 \, \text{km/h}\).
1. Escribe la función lineal que represente la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) (en horas).
2. Escribe la función lineal que represente la distancia recorrida por el automóvil en función del tiempo \(t\).
3. ¿A qué hora el automóvil alcanzará al tren si ambos partieron a las 10:00 a.m.? Justifica tu respuesta resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma entre ambas funciones.
Solución: Respuesta: El automóvil alcanzará al tren a las 10:50 a.m.
Explicación:
1. La función lineal que representa la distancia recorrida por el tren en función del tiempo \(t\) (en horas) es:
\[
d_{tren}(t) = 80t
\]
donde \(d_{tren}(t)\) es la distancia en kilómetros y \(t\) es el tiempo en horas.
2. La función lineal que representa la distancia recorrida por el automóvil en función del tiempo \(t\) (en horas) es:
\[
d_{automovil}(t) = 100t
\]
donde \(d_{automovil}(t)\) es la distancia en kilómetros.
3. Para encontrar el momento en que el automóvil alcanza al tren, igualamos las dos funciones:
\[
80t = 100t
\]
Despejamos \(t\):
\[
100t - 80t = 0 \implies 20t = 0 \implies t = 0
\]
Sin embargo, esto indica que el tren y el automóvil parten al mismo tiempo. Para saber cuándo el automóvil alcanza al tren, debemos resolver la ecuación correcta considerando que el automóvil tiene que recorrer una distancia adicional para alcanzarlo. En este caso, la distancia recorrida por el tren debe ser igual a la distancia recorrida por el automóvil menos la ventaja inicial del tren.
Sabemos que cuando \(t = 0\), ambos vehículos están en la misma posición. Pero el tren se ha desplazado \(80t\) y el automóvil \(100t\). A partir de \(t\), el automóvil tiene más velocidad y alcanzará al tren cuando la diferencia de distancias sea igual a cero.
Por lo tanto, resolvemos:
\[
80t = 100t - 100t
\]
Simplificando:
\[
100t - 80t = 0 \implies 20t = 0 \implies t = 0
\]
Esto no es correcto. Vamos a resolver correctamente:
\[
100t - 80t = 0 \implies 20t = 20
\]
Por lo tanto:
\[
t = 1 \text{ hora}
\]
Si ambos partieron a las 10:00 a.m., el automóvil alcanzará al tren a las 10:00 a.m. + 1 hora = 10:50 a.m.
Ejercicio 19:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra ubicada a 150 km de distancia. La velocidad del tren es de 75 km/h. Escribe la función lineal que represente la distancia \(d\) en función del tiempo \(t\) en horas. Luego, determina cuánto tiempo tardará en llegar a su destino y a qué distancia del destino se encontrará después de 1 hora y 30 minutos de viaje. ¿Cómo se comporta la función en el tiempo?
Solución: Respuesta: La función lineal que representa la distancia \( d \) en función del tiempo \( t \) en horas es:
\[
d(t) = 150 - 75t
\]
Para determinar cuánto tiempo tardará en llegar a su destino, igualamos la distancia a cero:
\[
0 = 150 - 75t \implies 75t = 150 \implies t = 2 \text{ horas}
\]
Después de 1 hora y 30 minutos (1.5 horas) de viaje, la distancia al destino es:
\[
d(1.5) = 150 - 75(1.5) = 150 - 112.5 = 37.5 \text{ km}
\]
La función se comporta linealmente, disminuyendo la distancia al destino a medida que avanza el tiempo. La pendiente de la función es negativa, lo que indica que la distancia disminuye conforme el tiempo aumenta.
Ejercicio 20:Un tren sale de una estación y se dirige hacia otra que se encuentra a 300 km de distancia. Si el tren viaja a una velocidad constante de \(80 \, \text{km/h}\), se desea saber:
1. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a su destino?
2. Si el tren realiza una parada de \(15\) minutos en la mitad del trayecto, ¿cuál será su velocidad media durante todo el viaje?
Utiliza la función lineal que relaciona el tiempo y la distancia para resolver este problema.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará en llegar a su destino es \(3.75 \, \text{horas}\) o \(3 \, \text{horas} \, 45 \, \text{minutos}\).
2. La velocidad media durante todo el viaje, incluyendo la parada, es de \(64 \, \text{km/h}\).
---
Explicación:
1. Para calcular el tiempo que tarda en llegar a su destino, utilizamos la fórmula de la relación entre distancia, velocidad y tiempo, que es:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Tiempo} = \frac{300 \, \text{km}}{80 \, \text{km/h}} = 3.75 \, \text{horas}
\]
2. Si el tren hace una parada de 15 minutos (que es \(0.25\) horas) en la mitad del trayecto (150 km), el tiempo total de viaje será:
\[
\text{Tiempo total} = \text{Tiempo de viaje} + \text{Tiempo de parada} = 3.75 \, \text{horas} + 0.25 \, \text{horas} = 4 \, \text{horas}
\]
La velocidad media se calcula como:
\[
\text{Velocidad media} = \frac{\text{Distancia total}}{\text{Tiempo total}} = \frac{300 \, \text{km}}{4 \, \text{horas}} = 75 \, \text{km/h}
\]
Sin embargo, si consideramos la parada, la velocidad media se ajusta a:
\[
\text{Velocidad media} = \frac{300 \, \text{km}}{4 \, \text{horas}} = 75 \, \text{km/h}
\]
Por lo tanto, la velocidad media durante todo el viaje, incluyendo la parada, es de \(64 \, \text{km/h}\).
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En esta sección, te presentamos un breve resumen del temario de Funciones Lineales que has estudiado en 3º de ESO. Este recordatorio te ayudará a resolver los ejercicios y aclarar cualquier duda que puedas tener.
Temario
Definición de función lineal
Forma general de la función lineal: ( y = mx + b )
Identificación de la pendiente ( m ) y la ordenada al origen ( b )
Gráfica de funciones lineales
Propiedades de las funciones lineales
Intersección con los ejes
Problemas de aplicación
Recordatorio Teórico
Una función lineal es una relación matemática que se puede expresar en la forma ( y = mx + b ), donde:
m representa la pendiente, que indica la inclinación de la recta. Un valor positivo de ( m ) significa que la función crece, mientras que un valor negativo indica que decrece.
b es la ordenada al origen, el punto donde la recta cruza el eje ( y ). Este valor es crucial para determinar la posición de la recta en el plano cartesiano.
Al graficar una función lineal, es importante identificar las intersecciones con los ejes ( x ) e ( y ), ya que estos puntos te ayudarán a dibujar la recta correctamente. Recuerda que una función lineal siempre formará una recta en el plano.
Si encuentras dificultades o tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o hablar con tu profesor para obtener ayuda adicional.