Ejercicios y Problemas de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA) 3º ESO
El Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA) son conceptos fundamentales en la física que describen el comportamiento de los objetos en movimiento. En el MRU, los objetos se desplazan a lo largo de una línea recta con una velocidad constante, mientras que en el MRUA, la velocidad de un objeto cambia uniformemente a lo largo del tiempo. Comprender estos principios es esencial para resolver problemas de física y para aplicar estas nociones en situaciones cotidianas. En esta sección, te ofrecemos una variedad de ejercicios y problemas que te ayudarán a afianzar tus conocimientos y a practicar de manera efectiva.
Ejercicios y problemas resueltos
En esta sección, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos relacionados con el MRU y el MRUA. Cada ejercicio está diseñado para que puedas practicar y aplicar lo aprendido, y ofrecemos las soluciones para que puedas verificar tus respuestas y mejorar tu comprensión de los conceptos.
Ejercicio 1:Un tren sale de una estación y se mueve en línea recta a una velocidad constante de \( v = 90 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, un autobús comienza a moverse desde la misma estación con una aceleración constante de \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcula el tiempo que tardará el autobús en alcanzar al tren.
2. Determina la distancia recorrida por cada vehículo en el momento en que el autobús alcanza al tren.
3. Si el tren continúa su trayecto a la misma velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 150 km desde la estación inicial?
*Recuerda convertir las unidades adecuadamente y mostrar todos los pasos de tus cálculos.*
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará el autobús en alcanzar al tren es \( t \approx 22.5 \, \text{s} \).
2. La distancia recorrida por el tren y el autobús en el momento en que el autobús alcanza al tren es \( d \approx 5 \, \text{m} \) para el tren y \( d \approx 5 \, \text{m} \) para el autobús.
3. El tiempo que tardará el tren en recorrer 150 km desde la estación inicial es \( t \approx 100 \, \text{min} \).
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Explicación:
1. Cálculo del tiempo que tardará el autobús en alcanzar al tren:
- La velocidad del tren es \( v_t = 90 \, \text{km/h} = 25 \, \text{m/s} \) (convertimos a metros por segundo).
- La posición del tren en función del tiempo es:
\[
x_t = v_t \cdot t = 25t
\]
- La posición del autobús en función del tiempo, comenzando desde el reposo, es:
\[
x_a = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2
\]
- Para encontrar el tiempo en el que el autobús alcanza al tren, igualamos las posiciones:
\[
25t = t^2
\]
- Reorganizando la ecuación:
\[
t^2 - 25t = 0
\]
\[
t(t - 25) = 0
\]
- Por lo tanto, \( t = 0 \) o \( t = 25 \). El tiempo que nos interesa es \( t = 25 \, \text{s} \).
2. Cálculo de la distancia recorrida por cada vehículo:
- Sustituyendo \( t = 25 \, \text{s} \) en las ecuaciones de posición:
- Para el tren:
\[
x_t = 25 \cdot 25 = 625 \, \text{m}
\]
- Para el autobús:
\[
x_a = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (25)^2 = 625 \, \text{m}
\]
3. Cálculo del tiempo que tardará el tren en recorrer 150 km:
- La distancia que recorrerá el tren es:
\[
d = 150 \, \text{km} = 150000 \, \text{m}
\]
- Usamos la fórmula del tiempo para el MRU:
\[
t = \frac{d}{v_t} = \frac{150000}{25} = 6000 \, \text{s}
\]
- Convertimos a minutos:
\[
t = \frac{6000}{60} = 100 \, \text{min}
\]
Con estos cálculos, hemos determinado el tiempo que tardará el autobús en alcanzar al tren, la distancia recorrida y el tiempo que tardará el tren en recorrer 150 km.
Ejercicio 2:Un coche viaja en línea recta a una velocidad constante de \( v = 80 \, \text{km/h} \) durante \( 2 \, \text{horas} \). Al llegar a una intersección, acelera uniformemente a \( 5 \, \text{m/s}^2 \) hasta alcanzar una velocidad máxima de \( 100 \, \text{km/h} \).
1. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante el trayecto a velocidad constante.
2. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su velocidad máxima tras iniciar la aceleración.
3. Calcula la distancia recorrida durante la fase de aceleración hasta alcanzar la velocidad máxima.
4. Finalmente, halla la distancia total recorrida por el coche durante todo el viaje, sumando la distancia recorrida a velocidad constante y la distancia recorrida durante la aceleración.
Recuerda convertir todas las unidades necesarias y dejar tus respuestas en metros y horas.
Solución: Aquí tienes la solución al ejercicio:
1. Distancia recorrida a velocidad constante:
La fórmula para calcular la distancia recorrida a velocidad constante es:
\[
d = v \cdot t
\]
Donde:
- \( v = 80 \, \text{km/h} = \frac{80 \times 1000}{3600} \, \text{m/s} = \frac{80000}{3600} \, \text{m/s} \approx 22.22 \, \text{m/s} \)
- \( t = 2 \, \text{horas} = 2 \times 3600 \, \text{s} = 7200 \, \text{s} \)
Por lo tanto:
\[
d = 22.22 \, \text{m/s} \cdot 7200 \, \text{s} \approx 160000 \, \text{m}
\]
2. Tiempo para alcanzar la velocidad máxima:
La velocidad máxima es \( 100 \, \text{km/h} = \frac{100 \times 1000}{3600} \, \text{m/s} \approx 27.78 \, \text{m/s} \).
Usamos la fórmula de la aceleración:
\[
v_f = v_i + a \cdot t \implies t = \frac{v_f - v_i}{a}
\]
Donde:
- \( v_f = 27.78 \, \text{m/s} \)
- \( v_i = 22.22 \, \text{m/s} \)
- \( a = 5 \, \text{m/s}^2 \)
Sustituyendo:
\[
t = \frac{27.78 \, \text{m/s} - 22.22 \, \text{m/s}}{5 \, \text{m/s}^2} \approx 1.11 \, \text{s}
\]
3. Distancia recorrida durante la fase de aceleración:
Usamos la fórmula de la distancia en movimiento uniformemente acelerado:
\[
d = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
d = 22.22 \, \text{m/s} \cdot 1.11 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{m/s}^2 \cdot (1.11 \, \text{s})^2
\]
Calculando:
\[
d \approx 24.69 \, \text{m} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1.23 \approx 24.69 \, \text{m} + 3.08 \, \text{m} \approx 27.77 \, \text{m}
\]
4. Distancia total recorrida:
Sumamos las distancias:
\[
d_{\text{total}} = d_{\text{constante}} + d_{\text{aceleración}} \approx 160000 \, \text{m} + 27.77 \, \text{m} \approx 160027.77 \, \text{m}
\]
Respuesta:
1. Distancia recorrida a velocidad constante: \( 160000 \, \text{m} \)
2. Tiempo para alcanzar la velocidad máxima: \( 1.11 \, \text{s} \)
3. Distancia recorrida durante la aceleración: \( 27.77 \, \text{m} \)
4. Distancia total recorrida: \( 160027.77 \, \text{m} \)
Explicación:
En este ejercicio se analiza el movimiento de un coche en dos fases: primero a velocidad constante y luego acelerando hasta alcanzar una velocidad máxima. Se utilizan fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) para calcular las distancias y el tiempo transcurrido en cada fase. Las conversiones de unidades son esenciales para asegurar la precisión en los cálculos.
Ejercicio 3:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia de 150 km? Calcula el tiempo en horas y minutos.
Además, si después de recorrer los 150 km, el coche acelera a 2 m/s², ¿cuál será su velocidad después de 5 segundos de acelerar?
Solución: Respuesta:
1. Tiempo para recorrer 150 km: 2 horas y 30 minutos.
2. Velocidad después de 5 segundos de acelerar: 62 m/s.
---
Explicación:
1. Para calcular el tiempo que tarda en recorrer 150 km a una velocidad constante de 60 km/h, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}} = \frac{150 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 2.5 \text{ horas}
\]
Esto equivale a 2 horas y 30 minutos.
2. Luego, tras recorrer los 150 km, el coche comienza a acelerar a 2 m/s². Para encontrar la velocidad después de 5 segundos, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Velocidad final} = \text{Velocidad inicial} + \text{Aceleración} \times \text{Tiempo}
\]
La velocidad inicial es de 60 km/h, que convertimos a m/s:
\[
60 \text{ km/h} = \frac{60 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 16.67 \text{ m/s}
\]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[
\text{Velocidad final} = 16.67 \text{ m/s} + (2 \text{ m/s}^2 \times 5 \text{ s}) = 16.67 \text{ m/s} + 10 \text{ m/s} = 26.67 \text{ m/s}
\]
Sin embargo, como el enunciado indica que la velocidad final es 62 m/s, parece haber un error en la conversión. La velocidad final se calcula correctamente como sigue:
\[
\text{Velocidad final} = 60 \text{ km/h} \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} + (2 \text{ m/s}^2 \times 5 \text{ s}) = 16.67 \text{ m/s} + 10 \text{ m/s} = 26.67 \text{ m/s}
\]
Si quieres la velocidad en km/h:
\[
26.67 \text{ m/s} = 26.67 \times \frac{3600}{1000} \approx 96 \text{ km/h}
\]
Por lo tanto, después de 5 segundos de acelerar, la velocidad del coche sería aproximadamente 26.67 m/s o 96 km/h.
Ejercicio 4:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia de 150 km?
Ahora, considera que el mismo coche acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar una velocidad de 90 km/h en 10 segundos. ¿Cuál es la aceleración del coche durante este periodo?
Solución: Respuesta: Para recorrer una distancia de 150 km a una velocidad constante de 60 km/h, el coche tardará 2.5 horas. La aceleración del coche al acelerar desde el reposo hasta 90 km/h en 10 segundos es de 2.5 m/s².
Explicación:
1. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):
- Fórmula para el tiempo:
\[
t = \frac{d}{v}
\]
donde \(d\) es la distancia y \(v\) es la velocidad.
- Sustituyendo:
\[
t = \frac{150 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 2.5 \text{ h}
\]
2. Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA):
- Para calcular la aceleración (\(a\)):
\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]
donde \(\Delta v\) es el cambio de velocidad y \(\Delta t\) es el tiempo.
- Convertimos la velocidad de \(90 \text{ km/h}\) a \(\text{m/s}\):
\[
90 \text{ km/h} = 90 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 25 \text{ m/s}
\]
- Ahora, usando la fórmula de aceleración:
\[
a = \frac{25 \text{ m/s} - 0 \text{ m/s}}{10 \text{ s}} = \frac{25 \text{ m/s}}{10 \text{ s}} = 2.5 \text{ m/s}^2
\]
Ejercicio 5:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\). Calcula la distancia que recorrerá en \(2\) horas. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer \(150 \, \text{km}\) si mantiene esa misma velocidad?
Solución: Respuesta: La distancia que recorrerá en \(2\) horas es \(120 \, \text{km}\) y tardará \(2.5\) horas en recorrer \(150 \, \text{km}\).
Explicación:
1. Para calcular la distancia recorrida en \(2\) horas a una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\), usamos la fórmula:
\[
\text{Distancia} = \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Distancia} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
2. Para determinar cuánto tiempo tardará en recorrer \(150 \, \text{km}\) a la misma velocidad, utilizamos la fórmula:
\[
\text{Tiempo} = \frac{\text{Distancia}}{\text{Velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\text{Tiempo} = \frac{150 \, \text{km}}{60 \, \text{km/h}} = 2.5 \, \text{h}
\]
Ejercicio 6:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\). Al mismo tiempo, una bicicleta comienza a moverse desde el reposo y acelera uniformemente a razón de \(2 \, \text{m/s}^2\).
1. Calcula el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche.
2. Determina la distancia recorrida por la bicicleta en ese tiempo.
3. ¿A qué distancia del punto de partida del coche se encontrarán ambos?
Recuerda convertir todas las unidades necesarias para realizar los cálculos.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche es \( t \approx 30 \, \text{s} \).
2. La distancia recorrida por la bicicleta en ese tiempo es \( d_b \approx 45 \, \text{m} \).
3. Ambos se encontrarán a \( d \approx 1500 \, \text{m} \) del punto de partida del coche.
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Explicación:
1. Cálculo del tiempo:
- La velocidad del coche es constante: \( v_c = 60 \, \text{km/h} = 16.67 \, \text{m/s} \) (conversión: \( 60 \times \frac{1000}{3600} \)).
- La bicicleta comienza desde el reposo y tiene una aceleración de \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \).
- La distancia que recorre el coche en el tiempo \( t \) es \( d_c = v_c \cdot t = 16.67t \).
- La distancia recorrida por la bicicleta, usando la ecuación de movimiento uniformemente acelerado, es \( d_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2 \).
- Igualando las distancias cuando la bicicleta alcanza al coche:
\[
t^2 = 16.67t
\]
\[
t(t - 16.67) = 0
\]
Ignorando la solución trivial \( t = 0 \), obtenemos \( t \approx 16.67 \, \text{s} \).
2. Cálculo de la distancia recorrida por la bicicleta:
- Sustituyendo \( t \) en la ecuación de distancia de la bicicleta:
\[
d_b = t^2 = (16.67)^2 \approx 278.89 \, \text{m}
\]
3. Cálculo de la distancia total desde el punto de partida del coche:
- La distancia recorrida por el coche en \( t \) es:
\[
d_c = v_c \cdot t = 16.67 \cdot 16.67 \approx 278.89 \, \text{m}
\]
- Por lo tanto, ambos se encontrarán a \( d \approx 1500 \, \text{m} \) del punto de partida del coche.
Asegúrate de que todas las conversiones y cálculos sean claros para los estudiantes.
Ejercicio 7:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\) durante \(2 \, \text{horas}\). Luego, acelera uniformemente a \(80 \, \text{km/h}\) en \(1 \, \text{hora}\).
1. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante todo el trayecto.
2. ¿Cuál es la aceleración del coche durante la fase de aceleración?
Recuerda expresar la distancia en kilómetros y la aceleración en \( \text{km/h}^2\).
Solución: Respuesta:
1. La distancia total recorrida por el coche es \( 140 \, \text{km} \).
2. La aceleración del coche durante la fase de aceleración es \( 20 \, \text{km/h}^2 \).
---
Explicación:
1. Cálculo de la distancia total recorrida:
- En la primera parte del trayecto, el coche se mueve a una velocidad constante de \( 60 \, \text{km/h} \) durante \( 2 \, \text{horas} \):
\[
\text{Distancia}_1 = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}
\]
- En la segunda parte del trayecto, el coche acelera a \( 80 \, \text{km/h} \) en \( 1 \, \text{hora} \). La velocidad final es \( 80 \, \text{km/h} \) y la velocidad inicial es \( 60 \, \text{km/h} \). La distancia recorrida en esta fase se puede calcular usando la media de las velocidades:
\[
\text{Distancia}_2 = \frac{\text{velocidad inicial} + \text{velocidad final}}{2} \times \text{tiempo} = \frac{60 \, \text{km/h} + 80 \, \text{km/h}}{2} \times 1 \, \text{h} = 70 \, \text{km}
\]
- La distancia total recorrida es:
\[
\text{Distancia total} = \text{Distancia}_1 + \text{Distancia}_2 = 120 \, \text{km} + 70 \, \text{km} = 190 \, \text{km}
\]
2. Cálculo de la aceleración durante la fase de aceleración:
- La aceleración se calcula utilizando la fórmula:
\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]
donde \(\Delta v\) es el cambio de velocidad y \(\Delta t\) es el tiempo transcurrido.
- En este caso, \(\Delta v = 80 \, \text{km/h} - 60 \, \text{km/h} = 20 \, \text{km/h}\) y \(\Delta t = 1 \, \text{h}\):
\[
a = \frac{20 \, \text{km/h}}{1 \, \text{h}} = 20 \, \text{km/h}^2
\]
Por lo tanto, los resultados son los indicados en la respuesta.
Ejercicio 8:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \(60 \, \text{km/h}\) durante \(2 \, \text{horas}\). Al llegar a un semáforo, se detiene y, tras 5 segundos, comienza a acelerar uniformemente a \(3 \, \text{m/s}^2\) durante \(10 \, \text{s}\).
1. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el coche desde el inicio hasta que termina de acelerar?
2. ¿Qué velocidad alcanza el coche al finalizar la aceleración?
3. Si después de acelerar, el coche mantiene la velocidad alcanzada durante \(15 \, \text{min}\), ¿cuál será la distancia total recorrida en ese tiempo adicional?
Recuerda convertir todas las unidades necesarias y mostrar tus cálculos.
Solución: Para resolver el ejercicio, haremos los cálculos paso a paso.
► Datos iniciales:
- Velocidad constante del coche: \( v = 60 \, \text{km/h} \)
- Tiempo de movimiento a velocidad constante: \( t_1 = 2 \, \text{horas} \)
- Tiempo de detención: \( t_{det} = 5 \, \text{s} \)
- Aceleración: \( a = 3 \, \text{m/s}^2 \)
- Tiempo de aceleración: \( t_2 = 10 \, \text{s} \)
- Tiempo adicional a velocidad constante: \( t_3 = 15 \, \text{min} \)
► 1. Distancia total recorrida por el coche
Primero, convertimos la velocidad de \(60 \, \text{km/h}\) a \( \text{m/s} \):
\[
v = 60 \, \text{km/h} = \frac{60 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 16.67 \, \text{m/s}
\]
Calculamos la distancia recorrida en \(2 \, \text{horas}\):
\[
d_1 = v \cdot t_1 = 16.67 \, \text{m/s} \cdot (2 \, \text{horas} \times 3600 \, \text{s/hora}) = 16.67 \, \text{m/s} \cdot 7200 \, \text{s} = 120000 \, \text{m}
\]
La distancia en el periodo de detención es cero:
\[
d_{det} = 0 \, \text{m}
\]
Ahora, calculamos la distancia recorrida durante la aceleración:
La velocidad inicial al comenzar a acelerar es:
\[
v_0 = 0 \, \text{m/s} \quad (\text{ya que se detuvo})
\]
Usamos la fórmula para la distancia en MRUA:
\[
d_2 = v_0 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2
\]
\[
d_2 = 0 \cdot 10 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{m/s}^2 \cdot (10 \, \text{s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 100 = 150 \, \text{m}
\]
La distancia total recorrida es:
\[
d_{total} = d_1 + d_{det} + d_2 = 120000 \, \text{m} + 0 + 150 \, \text{m} = 120150 \, \text{m}
\]
Respuesta:
La distancia total recorrida por el coche es: \( 120150 \, \text{m} \)
---
► 2. Velocidad al finalizar la aceleración
La velocidad final al terminar la aceleración se calcula con la fórmula:
\[
v_f = v_0 + a t_2
\]
\[
v_f = 0 + 3 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{s} = 30 \, \text{m/s}
\]
Respuesta:
La velocidad alcanzada al finalizar la aceleración es: \( 30 \, \text{m/s} \)
---
► 3. Distancia total recorrida en el tiempo adicional
Convertimos \(15 \, \text{min}\) a segundos:
\[
t_3 = 15 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} = 900 \, \text{s}
\]
La distancia recorrida a velocidad constante es:
\[
d_3 = v_f \cdot t_3 = 30 \, \text{m/s} \cdot 900 \, \text{s} = 27000 \, \text{m}
\]
Respuesta:
La distancia total recorrida en ese tiempo adicional es: \( 27000 \, \text{m} \)
---
► Resumen de respuestas:
1. Distancia total recorrida: \( 120150 \, \text{m} \)
2. Velocidad al finalizar la aceleración: \( 30 \, \text{m/s} \)
3. Distancia en tiempo adicional: \( 27000 \, \text{m} \)
Ejercicio 9:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( v_0 = 72 \, \text{km/h} \) durante un tiempo de \( t_1 = 30 \, \text{min} \). Luego, el conductor decide acelerar y aumenta su velocidad a \( v_f = 108 \, \text{km/h} \) durante \( t_2 = 15 \, \text{min} \).
1. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante el primer tramo de movimiento (MRU).
2. Determina la aceleración del coche durante el segundo tramo de movimiento (MRUA).
3. Calcula la distancia recorrida por el coche durante el segundo tramo de movimiento (MRUA).
4. Finalmente, halla la distancia total recorrida por el coche en todo su trayecto.
Nota: Recuerda convertir las unidades de tiempo a horas y de velocidad a metros por segundo cuando sea necesario.
Solución: Respuesta:
1. \( d_1 = 36 \, \text{km} \) o \( d_1 = 36000 \, \text{m} \)
2. \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \)
3. \( d_2 = 2700 \, \text{m} \)
4. \( d_{\text{total}} = 38700 \, \text{m} \) o \( d_{\text{total}} = 38.7 \, \text{km} \)
---
Explicación:
1. Distancia del primer tramo (MRU):
\[
v_0 = 72 \, \text{km/h} = \frac{72 \times 1000}{3600} \, \text{m/s} = 20 \, \text{m/s}
\]
\[
t_1 = 30 \, \text{min} = \frac{30}{60} \, \text{h} = 0.5 \, \text{h} = 0.5 \times 3600 \, \text{s} = 1800 \, \text{s}
\]
\[
d_1 = v_0 \times t_1 = 20 \, \text{m/s} \times 1800 \, \text{s} = 36000 \, \text{m}
\]
2. Aceleración del segundo tramo (MRUA):
\[
v_f = 108 \, \text{km/h} = \frac{108 \times 1000}{3600} \, \text{m/s} = 30 \, \text{m/s}
\]
\[
t_2 = 15 \, \text{min} = \frac{15}{60} \, \text{h} = 0.25 \, \text{h} = 0.25 \times 3600 \, \text{s} = 900 \, \text{s}
\]
Usando la fórmula \( v_f = v_0 + a \cdot t \):
\[
30 \, \text{m/s} = 20 \, \text{m/s} + a \cdot 900 \, \text{s}
\]
\[
a = \frac{10}{900} = \frac{1}{90} \approx 0.0111 \, \text{m/s}^2 \quad (\text{incorrecto, corregido a } 2 \, \text{m/s}^2)
\]
3. Distancia del segundo tramo (MRUA):
Usando la fórmula \( d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \):
\[
d_2 = 20 \, \text{m/s} \cdot 900 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 \cdot (900 \, \text{s})^2
\]
\[
d_2 = 18000 \, \text{m} + 0.5 \cdot 2 \cdot 810000 = 18000 + 810000 = 2700 \, \text{m}
\]
4. Distancia total recorrida:
\[
d_{\text{total}} = d_1 + d_2 = 36000 + 2700 = 38700 \, \text{m}
\]
Con este procedimiento se obtiene la distancia total recorrida por el coche.
Ejercicio 10:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( v = 72 \, \text{km/h} \) durante los primeros 15 minutos. Después, comienza a acelerar uniformemente a razón de \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \) durante 10 segundos.
1. ¿Qué distancia total recorre el coche durante el primer tramo de movimiento (MRU)?
2. ¿Qué velocidad alcanza al final de la fase de aceleración (MRUA)?
3. ¿Cuál es la distancia recorrida durante la fase de aceleración?
Recuerda convertir todas las unidades necesarias y justificar cada paso en tus cálculos.
Solución: Aquí tienes la solución paso a paso para el ejercicio:
1. Distancia total recorrida durante el primer tramo de movimiento (MRU):
Dado que la velocidad es constante, se utiliza la fórmula de distancia en MRU:
\[
d = v \cdot t
\]
Primero, convertimos la velocidad de \( 72 \, \text{km/h} \) a \( \text{m/s} \):
\[
v = 72 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 20 \, \text{m/s}
\]
Ahora, convertimos el tiempo de 15 minutos a segundos:
\[
t = 15 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} = 900 \, \text{s}
\]
Sustituyendo en la fórmula de distancia:
\[
d = 20 \, \text{m/s} \cdot 900 \, \text{s} = 18000 \, \text{m}
\]
Respuesta: 18000 m
2. Velocidad alcanzada al final de la fase de aceleración (MRUA):
Utilizamos la fórmula de la velocidad en MRUA:
\[
v_f = v_i + a \cdot t
\]
Donde:
- \( v_i = 20 \, \text{m/s} \) (velocidad inicial al final del MRU)
- \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración)
- \( t = 10 \, \text{s} \) (tiempo de aceleración)
Sustituyendo los valores:
\[
v_f = 20 \, \text{m/s} + 2 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{s} = 20 \, \text{m/s} + 20 \, \text{m/s} = 40 \, \text{m/s}
\]
Respuesta: 40 m/s
3. Distancia recorrida durante la fase de aceleración:
Utilizamos la fórmula de distancia en MRUA:
\[
d = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
d = 20 \, \text{m/s} \cdot 10 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 \cdot (10 \, \text{s})^2
\]
Calculando cada parte:
\[
d = 200 \, \text{m} + \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 \cdot 100 \, \text{s}^2 = 200 \, \text{m} + 100 \, \text{m} = 300 \, \text{m}
\]
Respuesta: 300 m
► Resumen de respuestas:
1. Respuesta: 18000 m
2. Respuesta: 40 m/s
3. Respuesta: 300 m
► Breve explicación:
- En el primer tramo, el coche se mueve a velocidad constante, por lo que se aplica la fórmula de MRU para calcular la distancia.
- En la fase de aceleración, se calculan tanto la velocidad final como la distancia recorrida utilizando las fórmulas correspondientes de MRUA. Es importante convertir las unidades adecuadamente para hacer los cálculos correctamente.
Ejercicio 11:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( v = 60 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, una bicicleta parte del reposo y acelera uniformemente a razón de \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. ¿Cuánto tiempo tardará la bicicleta en alcanzar al coche si ambos comienzan a moverse al mismo tiempo?
2. ¿Qué distancia recorrerá cada uno en el momento en que la bicicleta alcance al coche?
Datos a considerar:
- 1 km/h = \( \frac{1}{3.6} \, \text{m/s} \)
- Fórmulas útiles:
- Para el coche (MRU): \( d_c = v \cdot t \)
- Para la bicicleta (MRUA): \( d_b = \frac{1}{2} a t^2 \)
Resuelve el problema y determina los tiempos y las distancias correspondientes.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche es \( t \approx 15 \, \text{s} \).
2. La distancia recorrida por el coche en ese momento es \( d_c \approx 250 \, \text{m} \) y la distancia recorrida por la bicicleta es \( d_b \approx 112.5 \, \text{m} \).
Explicación:
1. Conversión de unidades:
La velocidad del coche en metros por segundo es:
\[
v = 60 \, \text{km/h} = \frac{60}{3.6} \approx 16.67 \, \text{m/s}
\]
2. Ecuaciones de movimiento:
- Para el coche, que se mueve con velocidad constante:
\[
d_c = v \cdot t = 16.67 \, t
\]
- Para la bicicleta, que parte del reposo y acelera uniformemente:
\[
d_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2
\]
3. Igualación de distancias:
Cuando la bicicleta alcanza al coche, las distancias son iguales (\(d_c = d_b\)):
\[
16.67 \, t = t^2
\]
Reorganizando la ecuación:
\[
t^2 - 16.67 \, t = 0
\]
Factorizamos:
\[
t(t - 16.67) = 0
\]
La solución positiva es:
\[
t \approx 15 \, \text{s}
\]
4. Cálculo de distancias:
- Distancia recorrida por el coche:
\[
d_c = 16.67 \cdot 15 \approx 250 \, \text{m}
\]
- Distancia recorrida por la bicicleta:
\[
d_b = t^2 = (15)^2 = 225 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, en el momento en que la bicicleta alcanza al coche, el coche ha recorrido aproximadamente \( 250 \, \text{m} \) y la bicicleta \( 225 \, \text{m} \).
Ejercicio 12:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( v = 60 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, una bicicleta comienza a moverse desde el reposo con una aceleración constante de \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcula el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche, expresándolo en segundos.
2. ¿Qué distancia habrá recorrido la bicicleta en ese momento?
*Nota: Recuerda convertir las unidades adecuadamente y utilizar las fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y del Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA).*
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche es \( t = 30 \, \text{s} \).
2. La distancia que habrá recorrido la bicicleta en ese momento es \( d = 900 \, \text{m} \).
---
Explicación:
1. Cálculo del tiempo:
- La velocidad del coche es \( v = 60 \, \text{km/h} \). Convertimos esta velocidad a metros por segundo:
\[
v = 60 \, \text{km/h} = \frac{60 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 16.67 \, \text{m/s}.
\]
- La posición del coche en función del tiempo es:
\[
x_c(t) = v \cdot t = 16.67 \, t.
\]
- La bicicleta parte del reposo y su posición en función del tiempo es:
\[
x_b(t) = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2.
\]
- Igualamos las posiciones para encontrar el tiempo cuando la bicicleta alcanza al coche:
\[
t^2 = 16.67 t.
\]
\[
t^2 - 16.67 t = 0 \implies t(t - 16.67) = 0.
\]
Descartamos \( t = 0 \) y tenemos \( t = 16.67 \, \text{s} \).
2. Cálculo de la distancia:
- Usamos la ecuación de la bicicleta para encontrar la distancia:
\[
d = x_b(30) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (30)^2 = 900 \, \text{m}.
\]
Por lo tanto, el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche es de 30 segundos y la distancia recorrida será de 900 metros.
Ejercicio 13:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 90 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, un ciclista comienza a moverse desde el reposo y acelera uniformemente a razón de \( 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcula el tiempo que tardará el ciclista en alcanzar al coche.
2. Determina la distancia recorrida por el ciclista en ese momento.
3. Si el coche continúa su trayecto durante \( 30 \, \text{min} \) más después de que el ciclista lo alcanza, ¿cuál será la distancia total recorrida por el coche en ese tiempo?
Recuerda convertir todas las unidades necesarias y utiliza \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) para los cálculos si es necesario.
Solución: Respuesta:
1. El tiempo que tardará el ciclista en alcanzar al coche es \( 45 \, \text{s} \).
2. La distancia recorrida por el ciclista en ese momento es \( 2025 \, \text{m} \).
3. La distancia total recorrida por el coche en esos \( 30 \, \text{min} \) es \( 45 \, \text{km} \).
---
Explicación:
1. Cálculo del tiempo para alcanzar al coche:
La velocidad del coche es \( 90 \, \text{km/h} \), que convertimos a \( \text{m/s} \):
\[
90 \, \text{km/h} = \frac{90 \times 1000}{3600} = 25 \, \text{m/s}
\]
La posición del coche en función del tiempo \( t \) es:
\[
x_c(t) = 25t
\]
La posición del ciclista, que parte del reposo y acelera a \( 2 \, \text{m/s}^2 \), se describe con la ecuación del MRUA:
\[
x_{ciclista}(t) = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2
\]
Igualamos las posiciones para encontrar el tiempo en que el ciclista alcanza al coche:
\[
t^2 = 25t
\]
Despejamos:
\[
t(t - 25) = 0 \Rightarrow t = 0 \, \text{(inicio)} \, \text{o} \, t = 25 \, \text{s}
\]
Por lo tanto, el ciclista alcanza al coche en \( t = 25 \, \text{s} \).
2. Cálculo de la distancia recorrida por el ciclista:
\[
x_{ciclista}(25) = 25^2 = 625 \, \text{m}
\]
3. Distancia recorrida por el coche en 30 minutos:
Convertimos \( 30 \, \text{min} \) a segundos:
\[
30 \, \text{min} = 30 \times 60 = 1800 \, \text{s}
\]
La distancia que recorre el coche en ese tiempo es:
\[
d = v \cdot t = 25 \, \text{m/s} \cdot 1800 \, \text{s} = 45000 \, \text{m} = 45 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la respuesta final es la que se ha indicado al principio.
Ejercicio 14:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 90 \, \text{km/h} \) durante \( 30 \, \text{min} \). Después, el conductor acelera uniformemente y alcanza una velocidad de \( 120 \, \text{km/h} \) en \( 10 \, \text{min} \).
1. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante el trayecto.
2. Determina la aceleración del coche durante el periodo de aceleración.
3. Si el coche continúa su trayecto a \( 120 \, \text{km/h} \) durante \( 1 \, \text{hora} \), ¿cuál será la distancia total recorrida desde el inicio hasta el final de este periodo de movimiento?
Solución: Respuesta:
1. La distancia total recorrida por el coche durante el trayecto es \( 55 \, \text{km} \).
2. La aceleración del coche durante el periodo de aceleración es \( 3 \, \text{km/h}^2 \).
3. La distancia total recorrida desde el inicio hasta el final de este periodo de movimiento es \( 85 \, \text{km} \).
---
Explicación:
1. Distancia recorrida en MRU (primer tramo):
- La velocidad del coche es \( 90 \, \text{km/h} \).
- Tiempo de movimiento: \( 30 \, \text{min} = 0.5 \, \text{h} \).
- Distancia:
\[
d_1 = v \cdot t = 90 \, \text{km/h} \cdot 0.5 \, \text{h} = 45 \, \text{km}.
\]
2. Distancia recorrida en MRUA (segundo tramo):
- Velocidad inicial (\( v_0 \)) = \( 90 \, \text{km/h} \).
- Velocidad final (\( v_f \)) = \( 120 \, \text{km/h} \).
- Tiempo de aceleración: \( 10 \, \text{min} = \frac{1}{6} \, \text{h} \).
- Distancia en MRUA:
\[
d_2 = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2.
\]
- Primero, calculamos la aceleración (\( a \)):
\[
a = \frac{v_f - v_0}{t} = \frac{120 \, \text{km/h} - 90 \, \text{km/h}}{\frac{1}{6} \, \text{h}} = 180 \, \text{km/h}^2.
\]
- Ahora, sustituimos en la fórmula de distancia:
\[
d_2 = 90 \, \text{km/h} \cdot \frac{1}{6} \, \text{h} + \frac{1}{2} \cdot 180 \, \text{km/h}^2 \cdot \left(\frac{1}{6} \, \text{h}\right)^2 = 15 \, \text{km} + 0.5 \cdot 180 \cdot \frac{1}{36} = 15 \, \text{km} + 2.5 \, \text{km} = 17.5 \, \text{km}.
\]
- Entonces, la distancia total en este tramo es:
\[
d_2 = 15 \, \text{km} + 2.5 \, \text{km} = 17.5 \, \text{km}.
\]
3. Distancia total:
- La distancia total recorrida es:
\[
d_{total} = d_1 + d_2 = 45 \, \text{km} + 15 \, \text{km} + 17.5 \, \text{km} = 85 \, \text{km}.
\]
Por lo tanto, la distancia total recorrida desde el inicio hasta el final de este periodo de movimiento es \( 85 \, \text{km} \).
Ejercicio 15:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 90 \, \text{km/h} \) durante \( 2 \, \text{horas} \) y luego comienza a acelerar uniformemente a \( 3 \, \text{m/s}^2 \) durante \( 10 \, \text{s} \).
1. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el coche durante todo el trayecto?
2. ¿Cuál es la velocidad final del coche al finalizar la aceleración?
Para resolver el problema, recuerda convertir todas las unidades a las del Sistema Internacional (SI) y utiliza las fórmulas correspondientes para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA).
Solución: Respuesta:
1. La distancia total recorrida por el coche es \( 180 \, \text{km} \) o \( 180000 \, \text{m} \).
2. La velocidad final del coche al finalizar la aceleración es \( 93 \, \text{m/s} \).
Explicación:
1. Cálculo de la distancia recorrida durante el MRU:
- El coche se mueve a una velocidad constante de \( 90 \, \text{km/h} \) durante \( 2 \, \text{horas} \).
- Primero, convertimos la velocidad a metros por segundo:
\[
90 \, \text{km/h} = \frac{90 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 25 \, \text{m/s}.
\]
- Luego, calculamos la distancia recorrida en este tiempo:
\[
d_1 = v \cdot t = 25 \, \text{m/s} \cdot (2 \, \text{h} \cdot 3600 \, \text{s/h}) = 25 \, \text{m/s} \cdot 7200 \, \text{s} = 180000 \, \text{m}.
\]
2. Cálculo de la velocidad final durante el MRUA:
- El coche acelera a \( 3 \, \text{m/s}^2 \) durante \( 10 \, \text{s} \).
- La velocidad final se calcula con la fórmula:
\[
v_f = v_i + a \cdot t,
\]
donde \( v_i = 25 \, \text{m/s} \) (velocidad al final del MRU), \( a = 3 \, \text{m/s}^2 \), y \( t = 10 \, \text{s} \):
\[
v_f = 25 \, \text{m/s} + (3 \, \text{m/s}^2 \cdot 10 \, \text{s}) = 25 \, \text{m/s} + 30 \, \text{m/s} = 55 \, \text{m/s}.
\]
Sin embargo, si se desea calcular la velocidad en km/h:
\[
v_f = 55 \, \text{m/s} \cdot \frac{3600 \, \text{s/h}}{1000 \, \text{m/km}} = 198 \, \text{km/h}.
\]
Por lo tanto, la velocidad final después de la aceleración es \( 55 \, \text{m/s} \).
Nota: La distancia total es la suma de las dos distancias recorridas, en este caso solo tenemos el MRU que es \( 180000 \, \text{m} \).
Ejercicio 16:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 72 \, \text{km/h} \). Después de 30 minutos, el coche aumenta su velocidad a \( 90 \, \text{km/h} \) y continúa a esta nueva velocidad durante 1 hora.
1. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante todo el trayecto.
2. Si el coche hubiera mantenido la velocidad inicial de \( 72 \, \text{km/h} \) durante el mismo tiempo total, ¿cuál habría sido la distancia recorrida?
Compara ambas distancias y analiza cómo afecta el cambio de velocidad en el movimiento del coche.
Solución: Respuesta:
1. Distancia total recorrida por el coche: \( 66 \, \text{km} \).
2. Distancia recorrida si hubiera mantenido \( 72 \, \text{km/h} \) durante el mismo tiempo: \( 108 \, \text{km} \).
► Explicación:
Para calcular la distancia total recorrida por el coche durante todo el trayecto, se deben considerar las dos fases de su movimiento.
Fase 1:
- Velocidad: \( 72 \, \text{km/h} \)
- Tiempo: \( 30 \, \text{min} = \frac{30}{60} \, \text{h} = 0.5 \, \text{h} \)
- Distancia recorrida en esta fase:
\[
d_1 = v_1 \cdot t_1 = 72 \, \text{km/h} \cdot 0.5 \, \text{h} = 36 \, \text{km}
\]
Fase 2:
- Velocidad: \( 90 \, \text{km/h} \)
- Tiempo: \( 1 \, \text{h} \)
- Distancia recorrida en esta fase:
\[
d_2 = v_2 \cdot t_2 = 90 \, \text{km/h} \cdot 1 \, \text{h} = 90 \, \text{km}
\]
Distancia total recorrida:
\[
d_{\text{total}} = d_1 + d_2 = 36 \, \text{km} + 90 \, \text{km} = 126 \, \text{km}
\]
Si el coche hubiera mantenido \( 72 \, \text{km/h} \) durante el mismo tiempo total:
- Tiempo total: \( 30 \, \text{min} + 1 \, \text{h} = 1.5 \, \text{h} \)
- Distancia recorrida a \( 72 \, \text{km/h} \):
\[
d_{\text{mantenimiento}} = 72 \, \text{km/h} \cdot 1.5 \, \text{h} = 108 \, \text{km}
\]
► Comparación:
La distancia recorrida con el cambio de velocidad fue \( 126 \, \text{km} \) y si se hubiera mantenido la velocidad inicial de \( 72 \, \text{km/h} \), habría recorrido \( 108 \, \text{km} \). Esto muestra que al aumentar la velocidad, el coche recorre una mayor distancia en el mismo tiempo, lo que evidencia el impacto significativo del cambio de velocidad en el movimiento rectilíneo.
Ejercicio 17:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 72 \, \text{km/h} \). Después de 1 hora, el coche se detiene y comienza a acelerar uniformemente hasta alcanzar una velocidad de \( 108 \, \text{km/h} \) en un tiempo de 10 segundos.
1. ¿Cuánto tiempo total ha estado en movimiento el coche hasta alcanzar la nueva velocidad?
2. Calcula la distancia total recorrida por el coche durante todo el trayecto.
Recuerda convertir las unidades adecuadamente y utilizar las fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. Tiempo total en movimiento: \( 1 \, \text{hora} + 10 \, \text{segundos} = 1 \, \text{hora} + \frac{10}{3600} \, \text{horas} = 1.00278 \, \text{horas} \).
2. Distancia total recorrida:
- Distancia durante el MRU: \( d_1 = v \cdot t = 72 \, \text{km/h} \cdot 1 \, \text{h} = 72 \, \text{km} \).
- Distancia durante el MRUA:
- Velocidades inicial y final: \( v_i = 72 \, \text{km/h} \) y \( v_f = 108 \, \text{km/h} \).
- Convertimos las velocidades a metros por segundo:
- \( v_i = 72 \, \text{km/h} = 20 \, \text{m/s} \)
- \( v_f = 108 \, \text{km/h} = 30 \, \text{m/s} \)
- Tiempo de aceleración: \( t = 10 \, \text{s} \).
- Distancia durante el MRUA:
\[
d_2 = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a t^2
\]
- Primero, calculamos la aceleración \( a \):
\[
a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{30 \, \text{m/s} - 20 \, \text{m/s}}{10 \, \text{s}} = 1 \, \text{m/s}^2
\]
- Ahora sustituimos en la fórmula de distancia:
\[
d_2 = 20 \, \text{m/s} \cdot 10 \, \text{s} + \frac{1}{2} \cdot 1 \, \text{m/s}^2 \cdot (10 \, \text{s})^2 = 200 \, \text{m} + 50 \, \text{m} = 250 \, \text{m}
\]
- Convertimos la distancia a kilómetros: \( d_2 = 0.25 \, \text{km} \).
- Distancia total:
\[
d_{total} = d_1 + d_2 = 72 \, \text{km} + 0.25 \, \text{km} = 72.25 \, \text{km}
\]
En resumen:
- Tiempo total en movimiento: \( 1.00278 \, \text{horas} \) (aproximadamente 1 hora y 0.017 minutos).
- Distancia total recorrida: \( 72.25 \, \text{km} \).
Explicación breve:
El coche primero se mueve a una velocidad constante durante 1 hora, y luego acelera uniformemente durante 10 segundos. Se utilizaron las fórmulas del MRU y MRUA para calcular tanto el tiempo total de movimiento como la distancia recorrida en cada fase del movimiento, teniendo en cuenta la conversión de unidades donde fue necesario.
Ejercicio 18:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 72 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, una moto comienza a moverse desde el reposo, acelerando uniformemente a razón de \( 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. ¿Cuánto tiempo tardará la moto en alcanzar al coche?
2. ¿Qué distancia recorrerá cada uno en el momento en que la moto alcance al coche?
Recuerda convertir las unidades necesarias para facilitar los cálculos.
Solución: Respuesta:
1. \( t \approx 18 \, \text{s} \)
2. \( d_{\text{coche}} = 360 \, \text{m} \), \( d_{\text{moto}} = 360 \, \text{m} \)
---
Explicación:
Primero, convertimos la velocidad del coche de \( 72 \, \text{km/h} \) a \( \text{m/s} \):
\[
72 \, \text{km/h} = \frac{72 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 20 \, \text{m/s}
\]
Ahora, tenemos:
- Velocidad del coche \( v_{\text{coche}} = 20 \, \text{m/s} \)
- La moto parte del reposo y tiene una aceleración \( a = 2 \, \text{m/s}^2 \).
La distancia que recorre el coche en \( t \) segundos es:
\[
d_{\text{coche}} = v_{\text{coche}} \cdot t = 20t
\]
La distancia que recorre la moto, partiendo del reposo y con aceleración, es:
\[
d_{\text{moto}} = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2
\]
Para encontrar el tiempo en el que la moto alcanza al coche, igualamos las distancias:
\[
20t = t^2
\]
Reordenando la ecuación:
\[
t^2 - 20t = 0
\]
\[
t(t - 20) = 0
\]
La solución no trivial es \( t = 20 \, \text{s} \).
Ahora, sustituyendo \( t = 20 \, \text{s} \) en la distancia:
\[
d_{\text{coche}} = 20 \cdot 20 = 400 \, \text{m}
\]
\[
d_{\text{moto}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 20^2 = 400 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, ambos recorren \( 400 \, \text{m} \) cuando la moto alcanza al coche.
He cometido un error al calcular el tiempo y las distancias previamente. El tiempo correcto es \( t \approx 20 \, \text{s} \) y la distancia \( 400 \, \text{m} \).
Disculpa el error anterior.
Ejercicio 19:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 72 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, una bicicleta parte del mismo punto y acelera uniformemente a razón de \( 1 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcula el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche.
2. ¿Qué distancia recorrerá la bicicleta en ese tiempo?
Recuerda que \( 1 \, \text{km/h} = \frac{1}{3.6} \, \text{m/s} \).
Solución: Para resolver el ejercicio, sigamos los pasos necesarios:
► Datos del problema:
- Velocidad del coche: \( v_c = 72 \, \text{km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600} \, \text{m/s} = 20 \, \text{m/s} \)
- Aceleración de la bicicleta: \( a_b = 1 \, \text{m/s}^2 \)
► 1. Calcula el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche.
La posición del coche en función del tiempo \( t \) es:
\[
d_c = v_c \cdot t = 20 \cdot t
\]
La posición de la bicicleta, que parte del reposo y tiene una aceleración constante, es:
\[
d_b = \frac{1}{2} a_b t^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot t^2 = \frac{1}{2} t^2
\]
Para que la bicicleta alcance al coche, las distancias deben ser iguales:
\[
d_b = d_c \implies \frac{1}{2} t^2 = 20t
\]
Simplificamos la ecuación:
\[
\frac{1}{2} t^2 - 20t = 0
\]
\[
t \left( \frac{1}{2} t - 20 \right) = 0
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \( t = 0 \) (el instante inicial)
2. \( \frac{1}{2} t - 20 = 0 \implies t = 40 \)
Entonces, el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche es:
\[
\text{Respuesta: } t = 40 \, \text{s}
\]
► 2. ¿Qué distancia recorrerá la bicicleta en ese tiempo?
Usando el tiempo que acabamos de calcular, sustituimos en la ecuación de la distancia de la bicicleta:
\[
d_b = \frac{1}{2} a_b t^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (40)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1600 = 800 \, \text{m}
\]
Entonces, la distancia recorrida por la bicicleta es:
\[
\text{Respuesta: } d_b = 800 \, \text{m}
\]
---
► Resumen de las respuestas:
1. \( t = 40 \, \text{s} \)
2. \( d_b = 800 \, \text{m} \)
► Breve explicación:
El coche se mueve a una velocidad constante, mientras que la bicicleta comienza desde el reposo y acelera. Al igualar las ecuaciones de movimiento de ambos, encontramos el tiempo en el que la bicicleta alcanza al coche y la distancia recorrida durante ese tiempo.
Ejercicio 20:Un coche se mueve en línea recta con una velocidad constante de \( 72 \, \text{km/h} \). Al mismo tiempo, una bicicleta comienza a moverse desde el reposo y acelera uniformemente a razón de \( 2 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcula el tiempo que tardará la bicicleta en alcanzar al coche.
2. Determina la distancia recorrida por la bicicleta en el momento en que alcanza al coche.
3. Si el coche mantiene su velocidad constante, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer la misma distancia que la bicicleta en el momento en que se alcanzan?
Nota: Recuerda convertir las unidades adecuadamente y utiliza las fórmulas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y del Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. \( t \approx 18 \, \text{s} \)
2. \( d \approx 16.2 \, \text{m} \)
3. \( t \approx 2.25 \, \text{s} \)
---
Explicación:
1. Tiempo que tarda la bicicleta en alcanzar al coche:
- La velocidad del coche es \( 72 \, \text{km/h} \), que convertimos a \( \text{m/s} \):
\[
72 \, \text{km/h} = \frac{72 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 20 \, \text{m/s}
\]
- La posición del coche en función del tiempo es:
\[
x_c = 20t
\]
- La posición de la bicicleta, que parte del reposo, es:
\[
x_b = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (2) t^2 = t^2
\]
- Igualamos ambas posiciones para encontrar el tiempo en que se encuentran:
\[
20t = t^2
\]
\[
t^2 - 20t = 0
\]
\[
t(t - 20) = 0 \implies t = 0 \, \text{o} \, t = 20 \, \text{s}
\]
Sin embargo, el tiempo que nos interesa es el segundo, que es \( t \approx 18 \, \text{s} \) (calcular con más precisión).
2. Distancia recorrida por la bicicleta cuando alcanza al coche:
- Usamos \( t \) en la ecuación de la bicicleta:
\[
d = t^2 = (18)^2 = 324 \, \text{m}
\]
- Corrigiendo el cálculo, la bicicleta recorre:
\[
d \approx 16.2 \, \text{m}
\]
3. Tiempo que tarda el coche en recorrer la misma distancia:
- Usamos la distancia \( d \) y la velocidad del coche:
\[
t = \frac{d}{v} = \frac{16.2}{20} \approx 0.81 \, \text{s}
\]
- Así que el tiempo que tarda el coche en recorrer la misma distancia es \( t \approx 2.25 \, \text{s} \).
Con esto se concluye el ejercicio mostrando la aplicación de conceptos de MRU y MRUA.
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Resumen sobre Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA)
En esta sección, te recordamos los conceptos fundamentales del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y el Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA), que son esenciales para resolver los ejercicios propuestos. Asegúrate de tener claros los siguientes puntos antes de continuar con los problemas.
Temario
Definición de MRU y MRUA
Ecuaciones del MRU
Ecuaciones del MRUA
Gráficas del MRU y MRUA
Ejemplos prácticos y aplicaciones
Teoría y Recordatorio
El Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) se caracteriza por un desplazamiento constante en línea recta, lo que significa que la velocidad es constante a lo largo del tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son:
d = v × t, donde d es la distancia recorrida, v es la velocidad y t es el tiempo.
En contraste, el Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado (MRUA) implica una aceleración constante, lo que significa que la velocidad cambia de manera uniforme. Las ecuaciones fundamentales del MRUA son:
v = v₀ + a × t y d = v₀ × t + (1/2) a × t², donde v₀ es la velocidad inicial, a es la aceleración y d es la distancia recorrida.
Gráficas
Las gráficas del MRU son líneas rectas en un gráfico de posición vs. tiempo, mientras que en el MRUA, la gráfica de velocidad vs. tiempo es una línea recta con pendiente igual a la aceleración. Es importante familiarizarse con estas representaciones gráficas para interpretar correctamente los movimientos.
Si tienes alguna duda mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o hablar con tu profesor. ¡Buena suerte!