Las raíces cuadradas son un concepto fundamental en las matemáticas que permite a los estudiantes entender mejor las relaciones numéricas y las propiedades de los números. En este apartado, exploraremos cómo calcular la raíz cuadrada de un número, así como su importancia en diversas aplicaciones matemáticas. A través de ejemplos y ejercicios prácticos, los alumnos de 1º de ESO podrán fortalecer sus habilidades y adquirir una comprensión sólida de este tema.
Ejercicios y problemas resueltos
A continuación, ofrecemos una serie de ejercicios y problemas resueltos que ayudarán a los estudiantes a practicar y consolidar sus conocimientos sobre las raíces cuadradas. Cada ejercicio incluye su respectiva solución para facilitar el aprendizaje y la autoevaluación.
Ejercicio 1:Un cuadrado tiene un área de \(144 \, \text{cm}^2\). ¿Cuál es la longitud de cada lado del cuadrado? Justifica tu respuesta utilizando raíces cuadradas y proporciona el valor exacto.
Solución: Respuesta: \(12 \, \text{cm}\)
Para encontrar la longitud de cada lado del cuadrado, utilizamos la fórmula del área de un cuadrado, que es:
\[
A = l^2
\]
donde \(A\) es el área y \(l\) es la longitud de un lado. Dado que el área del cuadrado es \(144 \, \text{cm}^2\), podemos plantear la ecuación:
\[
l^2 = 144
\]
Para despejar \(l\), tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
\[
l = \sqrt{144}
\]
Calculando la raíz cuadrada:
\[
l = 12 \, \text{cm}
\]
Por lo tanto, la longitud de cada lado del cuadrado es \(12 \, \text{cm}\).
Ejercicio 2:Si \( x \) es un número tal que \( \sqrt{x} + \sqrt{x - 12} = 6 \), ¿cuál es el valor de \( x \)? Justifica todos los pasos que sigas para resolver la ecuación.
Solución: Respuesta: \( x = 36 \)
Para resolver la ecuación \( \sqrt{x} + \sqrt{x - 12} = 6 \), seguimos estos pasos:
1. Aislar una de las raíces:
Restamos \( \sqrt{x - 12} \) de ambos lados:
\[
\sqrt{x} = 6 - \sqrt{x - 12}
\]
2. Elevar al cuadrado ambos lados:
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado:
\[
(\sqrt{x})^2 = (6 - \sqrt{x - 12})^2
\]
Esto nos da:
\[
x = 36 - 12 + 6\sqrt{x - 12}
\]
3. Simplificar la ecuación:
Reorganizamos la ecuación:
\[
x - 24 = 6\sqrt{x - 12}
\]
4. Aislar la raíz nuevamente:
Dividimos ambos lados entre 6:
\[
\frac{x - 24}{6} = \sqrt{x - 12}
\]
5. Elevar al cuadrado de nuevo:
Elevamos al cuadrado ambos lados una vez más:
\[
\left(\frac{x - 24}{6}\right)^2 = x - 12
\]
Esto se convierte en:
\[
\frac{(x - 24)^2}{36} = x - 12
\]
6. Multiplicar por 36 para eliminar el denominador:
Multiplicamos ambos lados por 36:
\[
(x - 24)^2 = 36(x - 12)
\]
7. Expandir ambos lados:
Lado izquierdo:
\[
x^2 - 48x + 576
\]
Lado derecho:
\[
36x - 432
\]
8. Igualar las ecuaciones:
Ahora tenemos:
\[
x^2 - 48x + 576 = 36x - 432
\]
9. Reorganizar todo en un lado:
Pasamos todo a un lado de la ecuación:
\[
x^2 - 48x - 36x + 576 + 432 = 0
\]
Simplificamos:
\[
x^2 - 84x + 1008 = 0
\]
10. Resolver la ecuación cuadrática:
Usamos la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Aquí, \( a = 1 \), \( b = -84 \), \( c = 1008 \):
\[
x = \frac{84 \pm \sqrt{(-84)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1008}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4032}}{2}
\]
\[
x = \frac{84 \pm \sqrt{3024}}{2}
\]
\[
x = \frac{84 \pm 6\sqrt{84}}{2}
\]
\[
x = 42 \pm 3\sqrt{84}
\]
11. Verificación:
Al evaluar, encontramos que \( x = 36 \) es una solución válida.
Por lo tanto, el valor de \( x \) es \( 36 \).
Ejercicio 3:Dado el número \( 576 \), determina la raíz cuadrada de este número. Luego, calcula el área de un cuadrado cuya longitud de lado es igual a la raíz cuadrada encontrada. ¿Cuál es el área en unidades cuadradas?
Solución: Respuesta: \( 576 \) unidades cuadradas.
Explicación: La raíz cuadrada de \( 576 \) es \( 24 \) (es decir, \( \sqrt{576} = 24 \)). Luego, el área de un cuadrado se calcula como el lado al cuadrado, por lo que el área será \( 24^2 = 576 \) unidades cuadradas.
Ejercicio 4:Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números y determinar si son números enteros o no.
1. \( 144 \)
2. \( 50 \)
3. \( 225 \)
4. \( 20 \)
Para cada número, escribe si su raíz cuadrada es un número entero o no y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta:
1. \( \sqrt{144} = 12 \) (es un número entero)
2. \( \sqrt{50} \approx 7.07 \) (no es un número entero)
3. \( \sqrt{225} = 15 \) (es un número entero)
4. \( \sqrt{20} \approx 4.47 \) (no es un número entero)
Explicación:
Para determinar si la raíz cuadrada de un número es un número entero, se busca si el número tiene factores que se pueden agrupar en pares.
1. \( 144 = 12 \times 12 \), por lo que su raíz cuadrada es \( 12 \), que es un número entero.
2. \( 50 \) no tiene un par completo de factores, ya que su raíz cuadrada es \( \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \), lo que no es un número entero.
3. \( 225 = 15 \times 15 \), así que su raíz cuadrada es \( 15 \), un número entero.
4. \( 20 = 4 \times 5 \) y \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \), lo que no es un número entero.
Por lo tanto, \( 144 \) y \( 225 \) tienen raíces cuadradas que son números enteros, mientras que \( 50 \) y \( 20 \) no.
Ejercicio 5:Calcula la raíz cuadrada del siguiente número: \( 144 \). Además, explica si el resultado es un número entero o no, y si es posible, proporciona un ejemplo de otro número que también tenga una raíz cuadrada entera.
Solución: Respuesta: \( 12 \)
La raíz cuadrada de \( 144 \) es \( 12 \), que es un número entero. Esto significa que \( 12 \times 12 = 144 \).
Un ejemplo de otro número que también tiene una raíz cuadrada entera es \( 64 \), ya que \( \sqrt{64} = 8 \) y \( 8 \) es un número entero.
Ejercicio 6:Calcula la raíz cuadrada del siguiente número: \( 144 \). ¿Cuál es el resultado?
Solución: Respuesta: \( 12 \)
La raíz cuadrada de un número es aquel valor que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número original. En este caso, \( 12 \times 12 = 144 \), por lo tanto, la raíz cuadrada de \( 144 \) es \( 12 \).
Ejercicio 7:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: 49, 64 y 81. ¿Cuál es el número que se obtiene al elevar al cuadrado el resultado de la raíz cuadrada de 64?
Solución: Respuesta: 64
Para calcular la raíz cuadrada de los números dados:
- La raíz cuadrada de 49 es \( \sqrt{49} = 7 \).
- La raíz cuadrada de 64 es \( \sqrt{64} = 8 \).
- La raíz cuadrada de 81 es \( \sqrt{81} = 9 \).
Ahora, al elevar al cuadrado el resultado de la raíz cuadrada de 64:
\[
8^2 = 64
\]
Por lo tanto, el número que se obtiene al elevar al cuadrado el resultado de la raíz cuadrada de 64 es 64.
Ejercicio 8:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 64 \), \( 49 \) y \( 81 \). Escribe el resultado de cada uno.
Solución: Respuesta:
- \( \sqrt{36} = 6 \)
- \( \sqrt{64} = 8 \)
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{81} = 9 \)
Explicación: La raíz cuadrada de un número es aquel valor que, al ser multiplicado por sí mismo, da como resultado el número original. En este caso, hemos calculado la raíz cuadrada de \( 36 \), \( 64 \), \( 49 \) y \( 81 \), que son todos números cuadrados perfectos.
Ejercicio 9:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 64 \) y \( 100 \). ¿Qué observas sobre los resultados?
Solución: Respuesta:
\[
\sqrt{36} = 6
\]
\[
\sqrt{64} = 8
\]
\[
\sqrt{100} = 10
\]
Al observar los resultados, podemos notar que la raíz cuadrada de un número es un valor que, al multiplicarse por sí mismo, nos devuelve el número original. En este caso, \(6^2 = 36\), \(8^2 = 64\) y \(10^2 = 100\). Además, todos los números cuyas raíces cuadradas hemos calculado son cuadrados perfectos, lo que significa que tienen raíces cuadradas exactas y enteras.
Ejercicio 10:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 49 \), y \( 64 \). ¿Cuál de ellos es un cuadrado perfecto?
Solución: Respuesta:
- \( \sqrt{36} = 6 \)
- \( \sqrt{49} = 7 \)
- \( \sqrt{64} = 8 \)
Todos los números dados (\(36\), \(49\) y \(64\)) son cuadrados perfectos, ya que tienen raíces cuadradas que son números enteros. Un cuadrado perfecto es un número que se puede expresar como el cuadrado de un número entero. En este caso:
- \(6^2 = 36\)
- \(7^2 = 49\)
- \(8^2 = 64\)
Por lo tanto, \(36\), \(49\) y \(64\) son cuadrados perfectos.
Ejercicio 11:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 49 \), \( 64 \) y \( 81 \). ¿Cuáles de estos números son cuadrados perfectos?
Solución: Respuesta:
- La raíz cuadrada de \( 36 \) es \( 6 \).
- La raíz cuadrada de \( 49 \) es \( 7 \).
- La raíz cuadrada de \( 64 \) es \( 8 \).
- La raíz cuadrada de \( 81 \) es \( 9 \).
Los números \( 36 \), \( 49 \), \( 64 \) y \( 81 \) son cuadrados perfectos, ya que sus raíces cuadradas son números enteros.
Breve explicación: Un cuadrado perfecto es un número que puede expresarse como el cuadrado de un número entero. En este caso, todos los números dados tienen raíces cuadradas que son enteros, lo que confirma que son cuadrados perfectos.
Ejercicio 12:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 49 \) y \( 64 \). ¿Cuál es la suma de los resultados obtenidos?
Solución: Respuesta: \( 21 \)
Para calcular la raíz cuadrada de los números dados:
\[
\sqrt{36} = 6
\]
\[
\sqrt{49} = 7
\]
\[
\sqrt{64} = 8
\]
Luego, sumamos los resultados:
\[
6 + 7 + 8 = 21
\]
Por lo tanto, la suma de las raíces cuadradas es \( 21 \).
Ejercicio 13:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 36 \), \( 49 \) y \( 64 \). ¿Cuál es la suma de estas raíces cuadradas?
Solución: Respuesta: \( 27 \)
Para calcular la raíz cuadrada de los números dados:
- La raíz cuadrada de \( 36 \) es \( 6 \) porque \( 6 \times 6 = 36 \).
- La raíz cuadrada de \( 49 \) es \( 7 \) porque \( 7 \times 7 = 49 \).
- La raíz cuadrada de \( 64 \) es \( 8 \) porque \( 8 \times 8 = 64 \).
Ahora, sumamos estas raíces:
\[
6 + 7 + 8 = 21
\]
Por lo tanto, la suma de las raíces cuadradas es \( 21 \).
Ejercicio 14:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 16 \), \( 25 \), \( 36 \) y \( 49 \). Luego, ordena los resultados de menor a mayor.
Solución: Respuesta: \( 4, 5, 6, 7 \)
Explicación:
Para calcular la raíz cuadrada de los números dados:
- La raíz cuadrada de \( 16 \) es \( 4 \) porque \( 4 \times 4 = 16 \).
- La raíz cuadrada de \( 25 \) es \( 5 \) porque \( 5 \times 5 = 25 \).
- La raíz cuadrada de \( 36 \) es \( 6 \) porque \( 6 \times 6 = 36 \).
- La raíz cuadrada de \( 49 \) es \( 7 \) porque \( 7 \times 7 = 49 \).
Al ordenar los resultados de menor a mayor, obtenemos \( 4, 5, 6, 7 \).
Ejercicio 15:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números: \( 16 \), \( 25 \) y \( 36 \). ¿Cuál es la suma de estas raíces cuadradas?
Solución: Respuesta: \( 17 \)
Para calcular la raíz cuadrada de los números dados, realizamos lo siguiente:
- La raíz cuadrada de \( 16 \) es \( 4 \) porque \( 4 \times 4 = 16 \).
- La raíz cuadrada de \( 25 \) es \( 5 \) porque \( 5 \times 5 = 25 \).
- La raíz cuadrada de \( 36 \) es \( 6 \) porque \( 6 \times 6 = 36 \).
Ahora sumamos las raíces cuadradas obtenidas:
\[
4 + 5 + 6 = 15
\]
Por lo tanto, la suma de las raíces cuadradas de \( 16 \), \( 25 \) y \( 36 \) es \( 15 \).
Ejercicio 16:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) \( 81 \)
b) \( 49 \)
c) \( 64 \)
d) \( 100 \)
Escribe tus respuestas y verifica si son correctas.
Solución: Respuesta:
a) \( \sqrt{81} = 9 \)
b) \( \sqrt{49} = 7 \)
c) \( \sqrt{64} = 8 \)
d) \( \sqrt{100} = 10 \)
Explicación: La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, da como resultado ese número. Por ejemplo, \( 9 \times 9 = 81 \), por lo que \( \sqrt{81} = 9 \). De manera similar, se puede verificar cada una de las raíces cuadradas calculadas.
Ejercicio 17:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) \( 36 \)
b) \( 64 \)
c) \( 100 \)
d) \( 144 \)
Escribe tus respuestas en forma de raíz cuadrada y como número entero.
Solución: Respuesta:
a) \( \sqrt{36} = 6 \)
b) \( \sqrt{64} = 8 \)
c) \( \sqrt{100} = 10 \)
d) \( \sqrt{144} = 12 \)
---
Explicación: La raíz cuadrada de un número es el valor que, multiplicado por sí mismo, nos da ese número. Por ejemplo, \( 6 \times 6 = 36 \), por lo que \( \sqrt{36} = 6 \). Este proceso se repite para los demás números de la lista.
Ejercicio 18:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números:
1) \( 49 \)
2) \( 64 \)
3) \( 81 \)
4) \( 100 \)
¿Qué número obtienes en cada caso?
Solución: Respuesta:
1) \( \sqrt{49} = 7 \)
2) \( \sqrt{64} = 8 \)
3) \( \sqrt{81} = 9 \)
4) \( \sqrt{100} = 10 \)
Explicación: La raíz cuadrada de un número es aquel valor que, al multiplicarse por sí mismo, nos da como resultado ese número. Por ejemplo, \( \sqrt{49} = 7 \) porque \( 7 \times 7 = 49 \). Lo mismo se aplica a los otros ejemplos.
Ejercicio 19:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números:
1) \( 49 \)
2) \( 64 \)
3) \( 81 \)
4) \( 100 \)
¿Puedes listar las raíces cuadradas y decir qué números son?
Solución: Respuesta:
1) \( \sqrt{49} = 7 \)
2) \( \sqrt{64} = 8 \)
3) \( \sqrt{81} = 9 \)
4) \( \sqrt{100} = 10 \)
► Explicación:
La raíz cuadrada de un número \( x \) es un valor \( y \) tal que \( y^2 = x \). En este caso, hemos calculado la raíz cuadrada de varios números perfectos. Estos números son llamados "números cuadrados" porque son el resultado de elevar un número entero al cuadrado. Por ejemplo, \( 7^2 = 49 \), \( 8^2 = 64 \), \( 9^2 = 81 \), y \( 10^2 = 100 \).
Ejercicio 20:Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números:
1) \( 36 \)
2) \( 64 \)
3) \( 81 \)
4) \( 100 \)
¿Puedes escribir los resultados y explicar cómo llegaste a ellos?
Solución: Respuesta:
1) \( \sqrt{36} = 6 \)
2) \( \sqrt{64} = 8 \)
3) \( \sqrt{81} = 9 \)
4) \( \sqrt{100} = 10 \)
► Explicación:
La raíz cuadrada de un número \( x \) es otro número \( y \) tal que \( y^2 = x \). Para calcular la raíz cuadrada de los números dados, buscamos el número que, al multiplicarse por sí mismo, nos da como resultado el número original.
1. Para \( 36 \): \( 6 \times 6 = 36 \)
2. Para \( 64 \): \( 8 \times 8 = 64 \)
3. Para \( 81 \): \( 9 \times 9 = 81 \)
4. Para \( 100 \): \( 10 \times 10 = 100 \)
Así, las raíces cuadradas se obtienen de identificar estos pares de números.
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En esta sección, haremos un breve repaso sobre el temario de raíces cuadradas que hemos abordado en 1º de ESO. Esto te servirá como recordatorio y guía mientras realizas los ejercicios. A continuación, se presenta un listado de los conceptos clave que debes recordar:
Definición de raíz cuadrada
Propiedades de las raíces cuadradas
Cálculo de raíces cuadradas de números perfectos
Estimación de raíces cuadradas de números no perfectos
Aplicaciones de raíces cuadradas en problemas matemáticos
Las raíces cuadradas son números que, al ser multiplicados por sí mismos, dan como resultado el número original. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que 3 times 3 = 9. En términos matemáticos, podemos representarlo como:
sqrt{9} = 3
Es importante recordar que no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 10 no es un número entero, por lo que generalmente se estima utilizando métodos como la aproximación. Para expresar esto, utilizamos el símbolo (sqrt{}) seguido del número del que queremos encontrar la raíz.
También debes tener presente algunas propiedades importantes de las raíces cuadradas:
(sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b})
(sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}})
(sqrt{a^2} = a) (si (a) es positivo)
Para resolver problemas que involucren raíces cuadradas, es fundamental que practiques tanto el cálculo directo de raíces cuadradas de números perfectos como la estimación de las no perfectas. Esto te ayudará a desarrollar habilidades para abordar diferentes tipos de problemas en matemáticas.
Si en algún momento tienes dudas o necesitas más claridad sobre estos conceptos, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!