La divisibilidad es un concepto fundamental en las matemáticas que nos permite entender cómo se relacionan los números entre sí. En este apartado de la asignatura de 1º ESO, exploraremos las reglas y propiedades que determinan si un número puede ser dividido por otro sin dejar un residuo. A través de ejemplos claros y ejercicios prácticos, los estudiantes podrán fortalecer su comprensión y habilidades en este tema esencial.
Ejercicios y problemas resueltos
A continuación, ofrecemos una serie de ejercicios y problemas resueltos que facilitarán el aprendizaje de la divisibilidad. Cada ejercicio incluye sus respectivas soluciones para que los alumnos puedan comprobar su trabajo y mejorar su entendimiento.
Ejercicio 1:Un número se dice que es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. Considera el número \( A = 4567 \).
1. Calcula la suma de las cifras de \( A \) y determina si \( A \) es divisible por 3.
2. Si \( A \) no es divisible por 3, encuentra el menor número entero que debes sumar a \( A \) para que sea divisible por 3.
Explica tu razonamiento paso a paso.
Solución: Respuesta:
1. La suma de las cifras de \( A = 4567 \) es \( 4 + 5 + 6 + 7 = 22 \). Como \( 22 \) no es divisible por \( 3 \), \( A \) no es divisible por \( 3 \).
2. El menor número entero que debes sumar a \( A \) para que sea divisible por \( 3 \) es \( 2 \), ya que \( 22 + 2 = 24 \) y \( 24 \div 3 = 8 \), que es un número entero.
---
Explicación:
1. Para determinar si un número es divisible por \( 3 \), se debe calcular la suma de sus cifras. En este caso, las cifras de \( A \) son \( 4, 5, 6, \) y \( 7 \). Sumándolas, obtenemos:
\[
4 + 5 + 6 + 7 = 22
\]
Luego, verificamos si \( 22 \) es divisible por \( 3 \). Dividiendo \( 22 \) entre \( 3 \):
\[
22 \div 3 = 7.33 \text{ (aproximadamente)}
\]
Como no es un número entero, concluimos que \( A \) no es divisible por \( 3 \).
2. Para encontrar el menor número que debemos sumar a \( A \) para que se vuelva divisible por \( 3 \), consideramos las posibles sumas:
- Si sumamos \( 1 \): \( 22 + 1 = 23 \) (no es divisible por \( 3 \)).
- Si sumamos \( 2 \): \( 22 + 2 = 24 \) (sí es divisible por \( 3 \)).
- Si sumamos \( 3 \): \( 22 + 3 = 25 \) (no es divisible por \( 3 \)).
Por lo tanto, el menor número entero que debemos sumar es \( 2 \).
Ejercicio 2:Un número natural es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el número \( N = 2340 \).
1. Determina si \( N \) es divisible por 2 y por 3, justificando tu respuesta.
2. Calcula el cociente de \( N \) entre 6 y verifica si el resultado es un número entero.
3. ¿Cuál es el mayor número natural que es divisor de \( N \) y que no es divisible por 4? Explica el proceso que seguiste para encontrarlo.
Solución: Respuesta:
1. Para determinar si \( N = 2340 \) es divisible por 2, observamos que el último dígito es 0, que es un número par. Por lo tanto, \( N \) es divisible por 2.
Para verificar si \( N \) es divisible por 3, sumamos los dígitos de \( N \): \( 2 + 3 + 4 + 0 = 9 \). Como 9 es divisible por 3, entonces \( N \) es divisible por 3.
Conclusión: \( N \) es divisible por 2 y por 3.
2. Calculamos el cociente de \( N \) entre 6:
\[
\frac{N}{6} = \frac{2340}{6} = 390
\]
El resultado es 390, que es un número entero.
3. Para encontrar el mayor número natural que es divisor de \( N \) y que no es divisible por 4, primero descomponemos \( N \) en factores primos:
\[
2340 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 13^1
\]
Los divisores de \( N \) se forman combinando estos factores. Buscamos el mayor divisor que no sea divisible por 4, lo que significa que no puede tener \( 2^2 \) en su factorización.
El mayor divisor de \( N \) que no es divisible por 4 debe incluir \( 2^1 \) como máximo. Por lo tanto, tomamos los factores \( 2^1 \), \( 3^1 \), \( 5^1 \) y \( 13^1 \):
\[
D = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 13^1 = 2 \times 3 \times 5 \times 13 = 390
\]
Verificamos que 390 no es divisible por 4, ya que \( 390 \div 4 = 97.5 \), que no es un entero.
Por lo tanto, el mayor número natural que es divisor de \( N \) y que no es divisible por 4 es \( 390 \).
Explicación breve: Se verificó la divisibilidad de \( N \) por 2 y 3, se calculó el cociente con 6 para comprobar la divisibilidad por 6 y se descompuso \( N \) en sus factores primos para encontrar el mayor divisor que no sea divisible por 4.
Ejercicio 3:Un número natural \( n \) es divisible por \( 6 \) si cumple con dos condiciones: es par y la suma de sus dígitos es divisible por \( 3 \). Si \( n \) es un número de tres cifras que cumple estas condiciones, y la suma de sus cifras es \( 15 \), ¿cuántos números \( n \) diferentes existen que cumplen con estas características? Justifica tu respuesta detalladamente.
Solución: Respuesta: 24
Para encontrar cuántos números naturales de tres cifras \( n \) cumplen con las condiciones de ser divisibles por \( 6 \) y tener una suma de cifras igual a \( 15 \), seguimos estos pasos:
1. Condiciones de divisibilidad por \( 6 \):
- \( n \) debe ser par: esto significa que su cifra de las unidades debe ser \( 0, 2, 4, 6, \) o \( 8 \).
- La suma de sus dígitos debe ser divisible por \( 3 \).
2. Suma de cifras: Dado que la suma de las cifras es \( 15 \), y \( 15 \) es divisible por \( 3 \), la segunda condición ya está satisfecha.
3. Descomposición del número: Sea \( n = abc \), donde \( a \), \( b \), y \( c \) son las cifras de \( n \) (donde \( a \) no puede ser \( 0 \) ya que \( n \) es un número de tres cifras). La condición que debemos cumplir es:
\[
a + b + c = 15
\]
4. Cifra de las unidades: Como \( n \) debe ser par, \( c \) puede ser \( 0, 2, 4, 6, \) o \( 8 \). Vamos a analizar cada caso.
- Caso \( c = 0 \):
\[
a + b = 15
\]
Posibles pares \((a, b)\): \( (7, 8), (8, 7) \) (solo \( 78 \) y \( 87 \) son válidos). Total: \( 2 \).
- Caso \( c = 2 \):
\[
a + b = 13
\]
Posibles pares \((a, b)\): \( (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5) \). Total: \( 4 \).
- Caso \( c = 4 \):
\[
a + b = 11
\]
Posibles pares \((a, b)\): \( (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3) \). Total: \( 6 \).
- Caso \( c = 6 \):
\[
a + b = 9
\]
Posibles pares \((a, b)\): \( (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1) \). Total: \( 8 \).
- Caso \( c = 8 \):
\[
a + b = 7
\]
Posibles pares \((a, b)\): \( (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (7, 0) \). Total: \( 7 \).
5. Total de combinaciones:
Sumando todas las combinaciones:
\[
2 + 4 + 6 + 8 + 7 = 27
\]
6. Números válidos:
Sin embargo, debemos excluir aquellos que no son números de tres cifras. En los casos de \( c = 0 \) y \( c = 2 \), todos los pares son válidos, pero en los casos de \( c = 4 \), \( c = 6 \) y \( c = 8 \) no hay restricciones.
Por lo tanto, el total de números \( n \) diferentes que cumplen con las características especificadas es \( 24 \).
Conclusión: Existen 24 números naturales de tres cifras que son divisibles por \( 6 \) y cuya suma de cifras es \( 15 \).
Ejercicio 4:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Dado el número \( n = 54 \):
1. ¿Es \( n \) divisible por 2? Justifica tu respuesta.
2. ¿Es \( n \) divisible por 3? Justifica tu respuesta.
3. Con base en los resultados anteriores, ¿es \( n \) divisible por 6? Explica tu razonamiento.
Solución: Respuesta:
1. ¿Es \( n \) divisible por 2?
Sí, \( n = 54 \) es divisible por 2. Esto se debe a que un número es divisible por 2 si su última cifra es un número par. En este caso, la última cifra de 54 es 4, que es par.
2. ¿Es \( n \) divisible por 3?
Sí, \( n = 54 \) es divisible por 3. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. La suma de las cifras de 54 es \( 5 + 4 = 9 \), y 9 es divisible por 3.
3. ¿Es \( n \) divisible por 6?
Sí, \( n = 54 \) es divisible por 6. Dado que \( n \) es divisible por 2 y por 3, podemos concluir que también es divisible por 6, ya que un número es divisible por 6 si es divisible por ambos, 2 y 3.
En resumen, el número \( n = 54 \) cumple con ambas condiciones para ser divisible por 6.
Ejercicio 5:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 48, 63 y 70.
a) ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6?
b) Justifica tu respuesta mostrando los pasos que seguiste para determinar la divisibilidad por 2 y por 3 de cada uno de ellos.
Solución:Respuesta: 24 y 48 son divisibles por 6.Explicación:
Para determinar si un número es divisible por 6, debemos verificar si es divisible por 2 y por 3. Aquí están los pasos para cada número:
1. Número 24:
- Divisibilidad por 2: 24 es un número par (termina en 4), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(2 + 4 = 6\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 24 es divisible por 3.
- Conclusión: 24 es divisible por 6.
2. Número 35:
- Divisibilidad por 2: 35 es un número impar (termina en 5), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 35 no es divisible por 6.
3. Número 48:
- Divisibilidad por 2: 48 es un número par (termina en 8), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(4 + 8 = 12\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 48 es divisible por 3.
- Conclusión: 48 es divisible por 6.
4. Número 63:
- Divisibilidad por 2: 63 es un número impar (termina en 3), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 63 no es divisible por 6.
5. Número 70:
- Divisibilidad por 2: 70 es un número par (termina en 0), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(7 + 0 = 7\), que no es divisible por 3. Por lo tanto, 70 no es divisible por 3.
- Conclusión: 70 no es divisible por 6.
En resumen, los únicos números de la lista que son divisibles por 6 son 24 y 48.
Ejercicio 6:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 48, 57 y 60. ¿Cuáles de ellos son divisibles por 6? Justifica tu respuesta explicando cómo verificaste la divisibilidad por 2 y por 3 para cada número.
Solución: Respuesta: 24, 48 y 60 son divisibles por 6.
Explicación:
1. Número 24:
- Divisibilidad por 2: El número 24 es par (termina en 4), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(2 + 4 = 6\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 24 es divisible por 3.
- Conclusión: 24 es divisible por 6.
2. Número 35:
- Divisibilidad por 2: El número 35 es impar (termina en 5), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 35 no es divisible por 6.
3. Número 48:
- Divisibilidad por 2: El número 48 es par (termina en 8), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(4 + 8 = 12\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 48 es divisible por 3.
- Conclusión: 48 es divisible por 6.
4. Número 57:
- Divisibilidad por 2: El número 57 es impar (termina en 7), por lo tanto, no es divisible por 2.
- Conclusión: 57 no es divisible por 6.
5. Número 60:
- Divisibilidad por 2: El número 60 es par (termina en 0), por lo tanto, es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos es \(6 + 0 = 6\), que es divisible por 3. Por lo tanto, 60 es divisible por 3.
- Conclusión: 60 es divisible por 6.
Por lo tanto, los números que son divisibles por 6 son 24, 48 y 60.
Ejercicio 7:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42 y 55. ¿Cuáles de ellos son divisibles por 6? Justifica tu respuesta explicando si son divisibles por 2 y por 3.
Solución: Respuesta: Los números divisibles por 6 son 24 y 42.
Explicación:
1. 24:
- Divisibilidad por 2: 24 es un número par, por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos \(2 + 4 = 6\) es divisible por 3.
- Por lo tanto, 24 es divisible por 6.
2. 35:
- Divisibilidad por 2: 35 es un número impar, por lo tanto no es divisible por 2.
- No se necesita verificar la divisibilidad por 3, ya que no es divisible por 2.
- Por lo tanto, 35 no es divisible por 6.
3. 42:
- Divisibilidad por 2: 42 es un número par, por lo tanto es divisible por 2.
- Divisibilidad por 3: La suma de sus dígitos \(4 + 2 = 6\) es divisible por 3.
- Por lo tanto, 42 es divisible por 6.
4. 55:
- Divisibilidad por 2: 55 es un número impar, por lo tanto no es divisible por 2.
- No se necesita verificar la divisibilidad por 3, ya que no es divisible por 2.
- Por lo tanto, 55 no es divisible por 6.
Ejercicio 8:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los siguientes números: 24, 35, 42 y 50. ¿Cuáles de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta indicando si cada número es divisible por 2 y por 3.
Solución: Respuesta: 24 y 42 son divisibles por 6.
Explicación:
- 24:
- Divisible por 2: Sí, ya que es un número par.
- Divisible por 3: Sí, porque \(2 + 4 = 6\) y 6 es divisible por 3.
- 35:
- Divisible por 2: No, ya que es un número impar.
- Divisible por 3: No, porque \(3 + 5 = 8\) y 8 no es divisible por 3.
- 42:
- Divisible por 2: Sí, ya que es un número par.
- Divisible por 3: Sí, porque \(4 + 2 = 6\) y 6 es divisible por 3.
- 50:
- Divisible por 2: Sí, ya que es un número par.
- Divisible por 3: No, porque \(5 + 0 = 5\) y 5 no es divisible por 3.
Por lo tanto, los números 24 y 42 son los únicos que cumplen con la condición de ser divisibles por 6.
Ejercicio 9:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 50. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta mostrando los números que cumplen con esta condición.
Solución: Respuesta: 8
Los números del 1 al 50 que son divisibles por 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.
Para determinar cuántos números son divisibles por 6, buscamos aquellos que cumplen las condiciones de ser divisibles tanto por 2 como por 3. Un número es divisible por 6 si se puede expresar en la forma \( 6k \), donde \( k \) es un número entero.
Contando los múltiplos de 6 en el rango de 1 a 50:
\[
6 \times 1 = 6 \\
6 \times 2 = 12 \\
6 \times 3 = 18 \\
6 \times 4 = 24 \\
6 \times 5 = 30 \\
6 \times 6 = 36 \\
6 \times 7 = 42 \\
6 \times 8 = 48
\]
Así, encontramos 8 números (6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48) que son divisibles por 6.
Ejercicio 10:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 30. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta y enumera los números que cumplen esta condición.
Solución: Respuesta: 5
Los números del 1 al 30 que son divisibles por 6 son: 6, 12, 18, 24 y 30.
Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible tanto por 2 como por 3. Los múltiplos de 6 dentro del rango dado son aquellos que se pueden expresar como \( 6n \), donde \( n \) es un entero. El mayor \( n \) que satisface \( 6n \leq 30 \) es \( n = 5 \) (ya que \( 6 \times 5 = 30 \)). Por lo tanto, los números divisibles por 6 entre 1 y 30 son:
- \( 6 \times 1 = 6 \)
- \( 6 \times 2 = 12 \)
- \( 6 \times 3 = 18 \)
- \( 6 \times 4 = 24 \)
- \( 6 \times 5 = 30 \)
Así, hay un total de 5 números en ese rango que cumplen la condición de ser divisibles por 6.
Ejercicio 11:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 30. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 6? Justifica tu respuesta mostrando todos los números que cumplen esta condición.
Solución: Respuesta: 5
Los números del 1 al 30 que son divisibles por 6 son: 6, 12, 18, 24 y 30.
Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible tanto por 2 como por 3. Los números mencionados cumplen ambas condiciones:
- Divisibilidad por 2: Todos son números pares.
- Divisibilidad por 3: Al dividir cada uno de estos números entre 3, el resultado es un número entero.
Por lo tanto, hay un total de 5 números del 1 al 30 que son divisibles por 6.
Ejercicio 12:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera los números del 1 al 100.
1. ¿Cuántos números en este rango son divisibles por 6?
2. De esos números, ¿cuál es el mayor número que es divisible por 6?
3. Si sumas todos los números del 1 al 100 que son divisibles por 6, ¿cuál es el resultado?
Justifica tus respuestas mostrando el proceso que utilizaste para resolver cada parte del ejercicio.
Solución: Respuesta:
1. Cantidad de números del 1 al 100 divisibles por 6: 16
2. Mayor número del 1 al 100 que es divisible por 6: 96
3. Suma de todos los números del 1 al 100 que son divisibles por 6: 816
---
Explicación:
1. Para determinar cuántos números del 1 al 100 son divisibles por 6, primero identificamos el primer número divisible por 6 en este rango, que es 6, y el último, que es 96. Los números divisibles por 6 forman una secuencia aritmética: 6, 12, 18, ..., 96. Para encontrar el número total de términos (\(n\)) en esta secuencia, utilizamos la fórmula para el término general de una secuencia aritmética:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
donde \(a_1 = 6\), \(d = 6\), y \(a_n = 96\). Sustituyendo:
\[
96 = 6 + (n-1) \cdot 6
\]
\[
90 = (n-1) \cdot 6
\]
\[
n-1 = 15 \quad \Rightarrow \quad n = 16
\]
Por lo tanto, hay 16 números en el rango del 1 al 100 que son divisibles por 6.
2. El mayor número divisible por 6 entre 1 y 100 es 96, ya que es el último término de la secuencia mencionada anteriormente.
3. Para sumar todos los números del 1 al 100 que son divisibles por 6, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética:
\[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
\]
Donde \(n = 16\) (número de términos), \(a_1 = 6\) (primer término) y \(a_n = 96\) (último término):
\[
S_{16} = \frac{16}{2} (6 + 96) = 8 \cdot 102 = 816
\]
Con estos cálculos, hemos respondido a cada parte del ejercicio de manera clara y justificada.
Ejercicio 13:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3. Considera el siguiente conjunto de números: {24, 35, 42, 55, 60}.
1. Identifica cuáles de estos números son divisibles por 6.
2. Justifica tu respuesta explicando si son divisibles por 2 y por 3.
Recuerda que un número es divisible por 2 si es par, y es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Solución: Respuesta: {24, 42, 60}
Explicación:
1. Número 24:
- Divisible por 2: Sí, porque es un número par.
- Divisible por 3: Suma de cifras \(2 + 4 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Conclusión: 24 es divisible por 6.
2. Número 35:
- Divisible por 2: No, porque es un número impar.
- Divisible por 3: Suma de cifras \(3 + 5 = 8\), que no es múltiplo de 3.
- Conclusión: 35 no es divisible por 6.
3. Número 42:
- Divisible por 2: Sí, porque es un número par.
- Divisible por 3: Suma de cifras \(4 + 2 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Conclusión: 42 es divisible por 6.
4. Número 55:
- Divisible por 2: No, porque es un número impar.
- Divisible por 3: Suma de cifras \(5 + 5 = 10\), que no es múltiplo de 3.
- Conclusión: 55 no es divisible por 6.
5. Número 60:
- Divisible por 2: Sí, porque es un número par.
- Divisible por 3: Suma de cifras \(6 + 0 = 6\), que es múltiplo de 3.
- Conclusión: 60 es divisible por 6.
Por lo tanto, los números del conjunto que son divisibles por 6 son 24, 42 y 60.
Ejercicio 14:Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.
1. Determina si los siguientes números son divisibles por 6: 24, 35, 42, 55 y 60.
2. Justifica tu respuesta explicando cómo verificaste la divisibilidad por 2 y por 3 en cada caso.
Solución: Respuesta:
1. 24: Divisible por 6 (divisible por 2 y por 3)
2. 35: No divisible por 6
3. 42: Divisible por 6 (divisible por 2 y por 3)
4. 55: No divisible por 6
5. 60: Divisible por 6 (divisible por 2 y por 3)
Justificación:
- 24: Es par (termina en 4), por lo tanto es divisible por 2. La suma de sus dígitos es \(2 + 4 = 6\), que es divisible por 3. Así, 24 es divisible por 6.
- 35: No es par (termina en 5), por lo que no es divisible por 2. Por lo tanto, no se necesita verificar la divisibilidad por 3.
- 42: Es par (termina en 2), así que es divisible por 2. La suma de sus dígitos es \(4 + 2 = 6\), que es divisible por 3. Así, 42 es divisible por 6.
- 55: No es par (termina en 5), así que no es divisible por 2. Por lo tanto, no se necesita verificar la divisibilidad por 3.
- 60: Es par (termina en 0), por lo que es divisible por 2. La suma de sus dígitos es \(6 + 0 = 6\), que es divisible por 3. Así, 60 es divisible por 6.
Ejercicio 15:Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Considera el número \( 567x \), donde \( x \) es un dígito desconocido. ¿Qué valores puede tomar \( x \) para que \( 567x \) sea divisible por 3? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: \( x = 0, 3, 6, 9 \)
Para justificar esta respuesta, primero calculamos la suma de los dígitos del número \( 567x \):
\[
5 + 6 + 7 + x = 18 + x
\]
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Sabemos que \( 18 \) es divisible por 3, por lo tanto, \( 18 + x \) será divisible por 3 si \( x \) también es divisible por 3.
Los dígitos posibles para \( x \) son \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). Entre estos, los que son divisibles por 3 son \( 0, 3, 6, \) y \( 9 \).
Por lo tanto, \( x \) puede tomar los valores \( 0, 3, 6, \) o \( 9 \) para que \( 567x \) sea divisible por 3.
Ejercicio 16:Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. ¿Es el número 372 divisible por 3? Justifica tu respuesta y calcula si el número 4567 es divisible por 3.
Solución: Respuesta: El número 372 es divisible por 3 y el número 4567 no es divisible por 3.
Explicación: Para determinar si un número es divisible por 3, sumamos sus cifras y verificamos si esa suma es divisible por 3.
1. Para el número 372:
- Suma de las cifras: \(3 + 7 + 2 = 12\)
- Como \(12\) es divisible por \(3\) (ya que \(12 \div 3 = 4\)), el número \(372\) es divisible por \(3\).
2. Para el número 4567:
- Suma de las cifras: \(4 + 5 + 6 + 7 = 22\)
- Como \(22\) no es divisible por \(3\) (ya que \(22 \div 3 = 7.33\), que no es un número entero), el número \(4567\) no es divisible por \(3\).
Ejercicio 17:Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. Juan tiene un número de 3 cifras que es divisible por 2 y la suma de sus cifras es 12. Si la primera cifra es 4, ¿cuáles son las posibles combinaciones de la segunda y tercera cifra? Determina todas las opciones y verifica si son divisibles por 2.
Solución: Respuesta: Las posibles combinaciones de la segunda y tercera cifra son: (4, 4), (2, 6), (0, 8).
Explicación:
Dado que el número tiene 3 cifras y la primera cifra es 4, el número se puede representar como \( 4xy \), donde \( x \) es la segunda cifra y \( y \) es la tercera cifra.
La suma de las cifras es:
\[
4 + x + y = 12
\]
De aquí, podemos determinar que:
\[
x + y = 12 - 4 = 8
\]
Además, sabemos que para que el número sea divisible por 2, la última cifra \( y \) debe ser par. Por lo tanto, \( y \) puede ser 0, 2, 4, 6 u 8. Ahora, considerando \( x + y = 8 \):
- Si \( y = 0 \), entonces \( x = 8 \) → combinación (8, 0) (no válida porque 8 no es una cifra válida).
- Si \( y = 2 \), entonces \( x = 6 \) → combinación (6, 2).
- Si \( y = 4 \), entonces \( x = 4 \) → combinación (4, 4).
- Si \( y = 6 \), entonces \( x = 2 \) → combinación (2, 6).
- Si \( y = 8 \), entonces \( x = 0 \) → combinación (0, 8).
Las combinaciones válidas que cumplen con la condición de que \( y \) es par son (6, 2), (4, 4), y (2, 6), (0, 8). Cada una de estas combinaciones produce un número de 3 cifras divisible por 2.
Ejercicio 18:Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. Considera los números del 1 al 50. ¿Cuántos de estos números son divisibles por 2? Además, ¿cuál es la suma de todos esos números divisibles por 2?
Solución: Respuesta: 25 números son divisibles por 2, y la suma de todos esos números es 650.
Explicación: Los números del 1 al 50 que son divisibles por 2 son aquellos que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8. Los números pares en este rango son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48 y 50. Esto suma un total de 25 números.
Para calcular la suma de estos números, podemos usar la fórmula de la suma de una serie aritmética. La serie de números pares desde 2 hasta 50 tiene un primer término \(a = 2\), un último término \(l = 50\) y un número de términos \(n = 25\). La suma \(S\) se calcula como:
\[
S = \frac{n}{2} (a + l) = \frac{25}{2} (2 + 50) = \frac{25}{2} \cdot 52 = 25 \cdot 26 = 650
\]
Por lo tanto, la suma de todos los números divisibles por 2 del 1 al 50 es 650.
Ejercicio 19:Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. ¿Es el número 456789 divisible por 2? Justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: El número 456789 no es divisible por 2.
Justificación: Para determinar si un número es divisible por 2, debemos fijarnos en su última cifra. La última cifra de 456789 es 9. Dado que 9 es un número impar, esto significa que 456789 no es divisible por 2.
Ejercicio 20:Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. ¿Es el número 456789 divisible por 2? Explica tu respuesta y determina si el número 123456 es divisible por 2.
Solución: Respuesta: El número 456789 no es divisible por 2, mientras que el número 123456 sí es divisible por 2.
Explicación: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6 o 8).
- Para el número 456789, la última cifra es 9, que es impar. Por lo tanto, 456789 no es divisible por 2.
- Para el número 123456, la última cifra es 6, que es par. Por lo tanto, 123456 sí es divisible por 2.
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La divisibilidad es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a la capacidad de un número entero para ser dividido por otro sin dejar un residuo. A continuación, se presenta un breve resumen del temario que has estudiado:
Definición de divisibilidad
Criterios de divisibilidad
Múltiplos y divisores
Números primos y compuestos
Máximo común divisor (MCD)
Mínimo común múltiplo (MCM)
Para recordar los puntos clave del temario:
La divisibilidad se establece cuando un número ( a ) se puede dividir por otro número ( b ) (donde ( b neq 0 )) sin que quede residuo, es decir, ( a mod b = 0 ). Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicar ese número por enteros, mientras que los divisores son aquellos números que pueden dividir a otro sin dejar residuo.
Es importante distinguir entre números primos, que solo tienen dos divisores (1 y el mismo número), y números compuestos, que tienen más de dos divisores. Para resolver problemas relacionados con divisibilidad, es útil conocer el máximo común divisor (MCD), que es el mayor número que divide a dos o más números, y el mínimo común múltiplo (MCM), que es el menor número que es múltiplo de dos o más números.
Si en algún momento tienes dudas mientras realizas los ejercicios, no dudes en consultar el temario o preguntar a tu profesor. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!