En el estudio de las matemáticas en 2º ESO, los conceptos de Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD) son fundamentales para entender las relaciones entre números. Estos conceptos no solo son esenciales para la resolución de problemas aritméticos, sino que también son la base para avanzar en temas más complejos como fracciones y álgebra. En esta sección de Cepa Ingenio, ofrecemos recursos interactivos y ejercicios que te ayudarán a dominar estas herramientas matemáticas de manera efectiva.
Ejercicios y Problemas Resueltos
A continuación, encontrarás una serie de ejercicios y problemas resueltos que te permitirán practicar el cálculo del MCM y del MCD. Cada ejercicio incluye soluciones detalladas para que puedas aprender y mejorar tus habilidades matemáticas.
Ejercicio 1:Un tren y un autobús salen de la misma estación al mismo tiempo. El tren viaja a una velocidad de \(90 \, \text{km/h}\) y el autobús a \(60 \, \text{km/h}\).
1. ¿Cuál es la distancia mínima que deben recorrer ambos vehículos para coincidir en el mismo punto después de haber salido de la estación?
2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (MCM) de las distancias recorridas por el tren y el autobús en ese momento?
Utiliza \(d = v \cdot t\) para calcular las distancias.
Solución: Respuesta:
1. La distancia mínima que deben recorrer ambos vehículos para coincidir en el mismo punto es \(180 \, \text{km}\).
2. El mínimo común múltiplo (MCM) de las distancias recorridas por el tren y el autobús en ese momento es \(540 \, \text{km}\).
Explicación:
1. Para que el tren y el autobús coincidan en el mismo punto, debemos encontrar un tiempo \(t\) en el que sus distancias recorridas sean iguales. Usamos la fórmula \(d = v \cdot t\).
- Distancia del tren: \(d_t = 90 \, \text{km/h} \cdot t\)
- Distancia del autobús: \(d_a = 60 \, \text{km/h} \cdot t\)
Para que coincidan, necesitamos que:
\[
d_t = d_a
\]
Esto se puede reescribir como:
\[
90t = 60t
\]
Para encontrar la distancia mínima, buscaremos el primer tiempo \(t\) donde ambos recorren distancias enteras. Cuando \(t = 2\) horas, ambos vehículos habrán recorrido:
- Distancia del tren: \(d_t = 90 \, \text{km/h} \cdot 2 \, \text{h} = 180 \, \text{km}\)
- Distancia del autobús: \(d_a = 60 \, \text{km/h} \cdot 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}\)
La distancia mínima que ambos deben recorrer para coincidir es \(180 \, \text{km}\).
2. Para encontrar el MCM de las distancias recorridas por el tren y el autobús, consideramos las distancias de \(180 \, \text{km}\) y \(120 \, \text{km}\).
Los factores primos son:
- \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
- \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\)
El MCM se calcula tomando el máximo exponente de cada factor primo:
\[
MCM = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 540 \, \text{km}
\]
Por lo tanto, la respuesta final es:
1. \(180 \, \text{km}\)
2. \(540 \, \text{km}\)
Ejercicio 2:Un tren sale de una estación cada 45 minutos y un autobús sale de la misma estación cada 30 minutos. Si ambos vehículos salen al mismo tiempo, ¿en cuántos minutos volverán a salir juntos en la estación? Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los tiempos de salida y explica el proceso para encontrarlo.
Solución: Respuesta: 630 minutos
Para encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los tiempos de salida del tren (45 minutos) y del autobús (30 minutos), seguimos estos pasos:
1. Descomposición en factores primos:
- Para 45:
- \( 45 = 3^2 \times 5^1 \)
- Para 30:
- \( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \)
2. Identificación de los factores primos:
- Los factores primos que aparecen son: 2, 3 y 5.
3. Toma del mayor exponente de cada factor primo:
- Para el 2: el mayor exponente es \( 2^1 \) (de 30).
- Para el 3: el mayor exponente es \( 3^2 \) (de 45).
- Para el 5: el mayor exponente es \( 5^1 \) (de ambos).
4. Cálculo del MCM:
\[
MCM = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90
\]
5. Multiplicamos por 7 para obtener el tiempo en minutos en que vuelven a salir juntos:
\[
90 \text{ minutos} \times 7 = 630 \text{ minutos}
\]
Por lo tanto, ambos vehículos volverán a salir juntos en la estación después de 630 minutos.
Ejercicio 3:Un jardín rectangular tiene una longitud de \( 24 \, \text{m} \) y un ancho de \( 18 \, \text{m} \). Se desea dividir el jardín en parcelas cuadradas de igual tamaño, de manera que no queden residuos. ¿Cuál es el tamaño máximo del lado de cada parcela cuadrada que se puede utilizar? Calcula el Máximo Común Divisor (MCD) de las dimensiones del jardín y justifica tu respuesta.
Solución: Respuesta: \( 6 \, \text{m} \)
Para encontrar el tamaño máximo del lado de cada parcela cuadrada que se puede utilizar sin que queden residuos, necesitamos calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de las dimensiones del jardín, que son \( 24 \, \text{m} \) (longitud) y \( 18 \, \text{m} \) (ancho).
Primero, descomponemos ambos números en sus factores primos:
\[
24 = 2^3 \times 3^1
\]
\[
18 = 2^1 \times 3^2
\]
Ahora, tomamos el menor exponente de cada factor primo:
- Para el factor \( 2 \): el menor exponente es \( 1 \) (de \( 18 \)).
- Para el factor \( 3 \): el menor exponente es \( 1 \) (de \( 24 \)).
Por lo tanto, el MCD se calcula como:
\[
MCD = 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6
\]
Así, el tamaño máximo del lado de cada parcela cuadrada que se puede utilizar es \( 6 \, \text{m} \). Esto significa que el jardín se puede dividir en parcelas de \( 6 \, \text{m} \times 6 \, \text{m} \) sin que queden residuos.
Ejercicio 4:Un grupo de estudiantes tiene que repartir 240 caramelos y 180 galletas entre varios compañeros de forma que cada uno reciba la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de galletas, sin que sobren. ¿Cuál es el número máximo de compañeros que pueden recibir los caramelos y las galletas? Calcula también cuántos caramelos y cuántas galletas le tocaría a cada uno. Utiliza el MCD para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El número máximo de compañeros que pueden recibir los caramelos y las galletas es 60. A cada uno le tocarían 4 caramelos y 3 galletas.
Explicación: Para resolver el problema, necesitamos encontrar el máximo común divisor (MCD) de 240 y 180.
1. Descomposición en factores primos:
- \( 240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \)
- \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
2. Encontramos el MCD:
- Para el MCD, tomamos el menor exponente de cada factor primo:
- Para \( 2 \): \( \min(4, 2) = 2 \)
- Para \( 3 \): \( \min(1, 2) = 1 \)
- Para \( 5 \): \( \min(1, 1) = 1 \)
Por lo tanto, el MCD es:
\[
MCD(240, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60
\]
3. Distribución de caramelos y galletas:
- Número de compañeros: \( 60 \)
- Caramelos por compañero: \( \frac{240}{60} = 4 \)
- Galletas por compañero: \( \frac{180}{60} = 3 \)
Así, cada compañero recibe 4 caramelos y 3 galletas, y no sobra nada.
Ejercicio 5:Un grupo de estudiantes tiene que organizar sus libros de manera que cada estantería contenga la misma cantidad de libros. Si tienen 72 libros de matemáticas y 84 libros de historia, ¿cuál es el mayor número de estanterías que pueden usar para organizar todos los libros, de modo que cada estantería tenga la misma cantidad de libros de matemáticas y la misma cantidad de libros de historia? Calcula también cuántos libros de cada asignatura habrá en cada estantería.
Solución: Respuesta: 12 estanterías; en cada estantería habrá 6 libros de matemáticas y 7 libros de historia.
Explicación: Para encontrar el mayor número de estanterías que pueden organizar los libros, necesitamos calcular el máximo común divisor (MCD) de 72 y 84.
1. Descomposición en factores primos:
- \(72 = 2^3 \times 3^2\)
- \(84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1\)
2. Cálculo del MCD:
- Tomamos los menores exponentes de cada factor primo:
- Para \(2\): el menor es \(2^2\).
- Para \(3\): el menor es \(3^1\).
- El factor \(7\) no se considera porque solo está en \(84\).
- Entonces, \(MCD = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\).
3. Cálculo de libros en cada estantería:
- Libros de matemáticas por estantería: \( \frac{72}{12} = 6 \).
- Libros de historia por estantería: \( \frac{84}{12} = 7 \).
Por lo tanto, se pueden usar 12 estanterías, cada una con 6 libros de matemáticas y 7 libros de historia.
Ejercicio 6:Un grupo de estudiantes tiene 48 lápices y 32 cuadernos. Quieren repartirlos entre el mayor número posible de compañeros de manera que cada uno reciba la misma cantidad de lápices y cuadernos. ¿Cuántos compañeros pueden recibir los materiales y cuántos lápices y cuadernos le tocarían a cada uno? Utiliza el concepto de Máximo Común Divisor (MCD) para resolver el problema.
Solución: Respuesta: 16 compañeros pueden recibir los materiales, y a cada uno le tocarían 3 lápices y 2 cuadernos.
Para resolver el problema, utilizamos el concepto de Máximo Común Divisor (MCD). Primero, encontramos el MCD de 48 (lápices) y 32 (cuadernos).
1. Descomponemos cada número en factores primos:
- 48 = \(2^4 \times 3^1\)
- 32 = \(2^5\)
2. Identificamos los factores comunes con sus menores exponentes:
- El único factor común es \(2\).
- El menor exponente de \(2\) en ambas descomposiciones es \(2^4\).
3. Por lo tanto, el MCD(48, 32) es:
\[
MCD(48, 32) = 2^4 = 16
\]
Esto significa que pueden repartir los lápices y cuadernos entre 16 compañeros.
4. Ahora, calculamos cuántos lápices y cuadernos le tocarían a cada uno:
- Lápices por compañero: \( \frac{48}{16} = 3\)
- Cuadernos por compañero: \( \frac{32}{16} = 2\)
Así, cada uno de los 16 compañeros recibirá 3 lápices y 2 cuadernos.
Ejercicio 7:Un grupo de estudiantes tiene 36 lápices y 48 cuadernos. Quieren repartir los lápices y los cuadernos en grupos de forma que cada grupo tenga la misma cantidad de lápices y la misma cantidad de cuadernos, sin que sobre ninguno de los dos materiales. ¿Cuál es el número máximo de grupos que pueden formar y cuántos lápices y cuadernos tendrá cada grupo? Utiliza el MCD para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El número máximo de grupos que pueden formar es 12, y cada grupo tendrá 3 lápices y 4 cuadernos.
Explicación: Para resolver el problema, utilizamos el Máximo Común Divisor (MCD) de la cantidad de lápices y cuadernos.
1. Encontramos el MCD de 36 y 48:
- Los factores de 36 son: \(2^2 \times 3^2\)
- Los factores de 48 son: \(2^4 \times 3^1\)
- El MCD se obtiene tomando los menores exponentes de los factores comunes:
- Para el 2: \(2^2\)
- Para el 3: \(3^1\)
- Por lo tanto, \(MCD(36, 48) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\).
2. El número de grupos es 12.
3. Cada grupo tendrá:
- Lápices por grupo: \( \frac{36}{12} = 3 \)
- Cuadernos por grupo: \( \frac{48}{12} = 4 \)
Así, cada grupo tendrá 3 lápices y 4 cuadernos.
Ejercicio 8:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de fútbol y necesita saber cuántos equipos pueden formarse con la misma cantidad de jugadores. Si tienen un total de 36 jugadores y 60 jugadores, ¿cuál es el máximo número de equipos que pueden formarse de tal manera que cada equipo tenga la misma cantidad de jugadores y no sobren jugadores? Calcula el MCD de los dos números y determina cuántos equipos se pueden formar y cuántos jugadores tendrá cada equipo.
Solución: Respuesta: 12 equipos de 3 jugadores cada uno.
Para encontrar cuántos equipos se pueden formar con la misma cantidad de jugadores, debemos calcular el máximo común divisor (MCD) de los números 36 y 60.
1. Descomposición en factores primos:
- \(36 = 2^2 \times 3^2\)
- \(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
2. Cálculo del MCD:
- Tomamos los factores comunes con el menor exponente:
- Para \(2\), el menor exponente es \(2\).
- Para \(3\), el menor exponente es \(1\).
- Entonces, el MCD es:
\[
MCD(36, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12
\]
3. Número de equipos y jugadores por equipo:
- El MCD es \(12\), lo que significa que se pueden formar \(12\) equipos.
- Para encontrar cuántos jugadores tendrá cada equipo, dividimos el total de jugadores entre el número de equipos:
\[
\text{Jugadores por equipo} = \frac{36}{12} = 3 \quad \text{(o)} \quad \frac{60}{12} = 5
\]
Por lo tanto, el máximo número de equipos que pueden formarse es \(12\) y cada equipo tendrá \(3\) jugadores si se utilizan \(36\) jugadores, o \(5\) jugadores si se utilizan \(60\) jugadores.
Ejercicio 9:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de ajedrez y necesita saber cuántas partidas pueden jugar si cada jugador juega contra todos los demás exactamente una vez. Si hay 12 jugadores en total, ¿cuántas partidas se jugarán en total? Además, si cada partida dura 45 minutos, ¿cuánto tiempo total en horas durará el torneo?
Solución: Respuesta: 66 partidas; el torneo durará 49.5 horas.
Para calcular el número de partidas que se jugarán, utilizamos la fórmula para el número de combinaciones de \( n \) jugadores tomados de 2 en 2, que se expresa como:
\[
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
\]
En este caso, \( n = 12 \):
\[
C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2} = 66
\]
Esto significa que se jugarán 66 partidas en total.
Ahora, si cada partida dura 45 minutos, primero convertimos ese tiempo a horas:
\[
45 \text{ minutos} = \frac{45}{60} \text{ horas} = 0.75 \text{ horas}
\]
Por lo tanto, el tiempo total del torneo será:
\[
66 \text{ partidas} \times 0.75 \text{ horas/partida} = 49.5 \text{ horas}
\]
Así que el torneo durará 49.5 horas en total.
Ejercicio 10:Un grupo de estudiantes quiere organizar un torneo de ajedrez y necesita formar equipos. Si tienen 24 jugadores y quieren formar equipos de igual tamaño, ¿cuál es el número máximo de jugadores que puede haber en cada equipo y cuántos equipos pueden formarse? Además, determina el MCD (Máximo Común Divisor) de 24 y el tamaño de los equipos.
Solución: Respuesta: El número máximo de jugadores que puede haber en cada equipo es 24 y se puede formar 1 equipo. El MCD de 24 y el tamaño de los equipos (24) es 24.
Explicación: Para formar equipos de igual tamaño, el número de jugadores en cada equipo debe ser un divisor de 24. Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. El número máximo de jugadores por equipo es 24, lo que significa que solo se puede formar un equipo con todos los jugadores. El MCD de 24 y 24 es 24, ya que el máximo común divisor de un número y sí mismo es el número.
Ejercicio 11:Un grupo de estudiantes está organizando un evento y necesita confeccionar bolsas de obsequios. Tienen un total de 120 lápices, 90 gomas de borrar y 150 pegatinas.
1. ¿Cuál es el número máximo de bolsas de obsequios que pueden hacer, utilizando la misma cantidad de lápices, gomas de borrar y pegatinas en cada bolsa?
2. ¿Cuántos lápices, gomas de borrar y pegatinas habrá en cada bolsa?
Utiliza los conceptos de Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor (MCD) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. El número máximo de bolsas de obsequios que pueden hacer es 30.
2. En cada bolsa habrá 4 lápices, 3 gomas de borrar y 5 pegatinas.
---
Explicación:
Para resolver este problema utilizamos el concepto de Máximo Común Divisor (MCD).
1. Cálculo del MCD:
- Los números de lápices, gomas de borrar y pegatinas son 120, 90 y 150, respectivamente.
- Descomponemos cada número en factores primos:
- \(120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\)
- \(90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1\)
- \(150 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2\)
- Ahora, tomamos el menor exponente de cada factor primo:
- Para \(2\): el menor exponente es \(1\).
- Para \(3\): el menor exponente es \(1\).
- Para \(5\): el menor exponente es \(1\).
- Por lo tanto, el MCD es:
\[
MCD = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30
\]
2. Cálculo de la cantidad en cada bolsa:
- Para encontrar cuántos lápices, gomas de borrar y pegatinas habrá en cada bolsa, dividimos la cantidad total de cada tipo de material por el MCD:
- Lápices por bolsa: \( \frac{120}{30} = 4\)
- Gomas de borrar por bolsa: \( \frac{90}{30} = 3\)
- Pegatinas por bolsa: \( \frac{150}{30} = 5\)
Así, cada bolsa contendrá 4 lápices, 3 gomas de borrar y 5 pegatinas, permitiendo confeccionar un total de 30 bolsas.
Ejercicio 12:Un comerciante tiene dos tipos de cajas para empaquetar sus productos: una caja pequeña que puede contener 24 unidades y una caja grande que puede contener 36 unidades. Si el comerciante quiere empaquetar su mercancía de manera que se utilicen el mismo número de cajas de cada tipo y que no sobren productos, ¿cuántas unidades de cada tipo de caja debe utilizar para empaquetar al menos 360 unidades de producto? Calcula el MCD y el MCM de las capacidades de las cajas y determina el número mínimo de cajas de cada tipo que necesita.
Solución: Respuesta: El comerciante debe utilizar 5 cajas pequeñas y 5 cajas grandes.
Explicación:
1. Las capacidades de las cajas son 24 (caja pequeña) y 36 (caja grande).
2. Para encontrar el MCD (Máximo Común Divisor) y el MCM (Mínimo Común Múltiplo) de 24 y 36, podemos hacerlo de la siguiente manera:
- MCD(24, 36):
- Los factores primos de 24 son \(2^3 \cdot 3^1\).
- Los factores primos de 36 son \(2^2 \cdot 3^2\).
- El MCD se obtiene tomando los menores exponentes de los factores comunes: \(2^2 \cdot 3^1 = 12\).
- MCM(24, 36):
- El MCM se obtiene tomando los mayores exponentes de todos los factores: \(2^3 \cdot 3^2 = 72\).
3. Ahora, queremos empaquetar al menos 360 unidades utilizando el mismo número de cajas de cada tipo. Dado que el MCM es 72, podemos empaquetar la mercancía en múltiplos de 72.
4. Para determinar cuántas cajas de cada tipo se necesitan, encontramos el número de cajas necesarias para alcanzar al menos 360 unidades.
- \(360 \div 72 = 5\) (esto significa que necesitamos 5 conjuntos de 72 unidades).
- Como cada conjunto de 72 unidades se compone de 3 cajas pequeñas (24 unidades) y 2 cajas grandes (36 unidades), pero necesitamos el mismo número de cajas de cada tipo, usamos 5 cajas de cada tipo:
- \(5 \times 24 = 120\) unidades (cajas pequeñas)
- \(5 \times 36 = 180\) unidades (cajas grandes)
- Total: \(120 + 180 = 300\) unidades, que es menor que 360, por lo que necesitamos ajustar la cantidad.
5. Ajustando para cumplir con 360 unidades utilizando 5 cajas de cada tipo:
- \(5 \times 24 + 5 \times 36 = 300\), entonces necesitamos agregar más cajas.
- Al mantener el mismo número de cajas, para llegar a 360, necesitamos 5 cajas de cada tipo, lo que nos da 360 unidades exactas.
Por lo tanto, el comerciante debe utilizar 5 cajas pequeñas y 5 cajas grandes para empaquetar su mercancía.
Ejercicio 13:Un agricultor tiene dos tipos de semillas: una variedad de maíz que puede sembrar en bloques de 120 metros cuadrados y otra de trigo que necesita bloques de 90 metros cuadrados. Si el agricultor desea sembrar ambas variedades de semillas en un terreno rectangular de 720 metros cuadrados, ¿cuál es la máxima cantidad de bloques de cada tipo de semilla que puede sembrar sin que sobre espacio en el terreno? Calcula el MCD de las áreas de los bloques y determina cuántos bloques de cada tipo puede sembrar en el terreno.
Solución: Respuesta: Se pueden sembrar 6 bloques de maíz y 4 bloques de trigo.
Explicación:
1. Calculamos el MCD (Máximo Común Divisor) de las áreas de los bloques de semillas:
- Área del bloque de maíz: 120 m²
- Área del bloque de trigo: 90 m²
Para encontrar el MCD de 120 y 90, descomponemos los números en factores primos:
- \(120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)
- \(90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1\)
Ahora, tomamos los factores comunes con el menor exponente:
- \(MCD(120, 90) = 2^{\min(3,1)} \cdot 3^{\min(1,2)} \cdot 5^{\min(1,1)} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30\)
2. Ahora, determinamos cuántos bloques de cada tipo podemos sembrar en 720 m²:
- Para el maíz:
\[
\frac{720}{120} = 6 \text{ bloques}
\]
- Para el trigo:
\[
\frac{720}{90} = 8 \text{ bloques}
\]
3. Sin embargo, para que no sobre espacio en el terreno, debemos encontrar combinaciones que sumen 720 m². La combinación que maximiza el uso del terreno es 6 bloques de maíz (720 m²) y 4 bloques de trigo (360 m²).
Por lo tanto, la máxima cantidad de bloques que se pueden sembrar sin que sobre espacio en el terreno es 6 bloques de maíz y 4 bloques de trigo.
Ejercicio 14:Un agricultor tiene dos tipos de semillas: 120 semillas de maíz y 180 semillas de trigo. Quiere plantar las semillas en hileras, de manera que en cada hilera haya la misma cantidad de semillas de maíz y la misma cantidad de semillas de trigo, sin que sobre ninguna semilla.
a) ¿Cuál es el máximo número de hileras que puede hacer?
b) ¿Cuántas semillas de cada tipo habrá en cada hilera?
Utiliza el MCD (Máximo Común Divisor) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
a) 60 hileras
b) 2 semillas de maíz y 3 semillas de trigo por hilera
Explicación:
Para resolver el problema, utilizamos el Máximo Común Divisor (MCD) de las cantidades de semillas de maíz y trigo.
1. Calculo del MCD:
- Las semillas de maíz: 120
- Las semillas de trigo: 180
Para encontrar el MCD, descomponemos ambos números en factores primos:
- \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
El MCD se obtiene tomando los factores primos comunes con el menor exponente:
- \( MCD(120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60 \)
2. Número de hileras:
El MCD es 60, así que el agricultor puede hacer 60 hileras.
3. Semillas por hilera:
- Semillas de maíz por hilera: \( \frac{120}{60} = 2 \)
- Semillas de trigo por hilera: \( \frac{180}{60} = 3 \)
Por lo tanto, cada hilera tendrá 2 semillas de maíz y 3 semillas de trigo.
Ejercicio 15:Un agricultor tiene dos tipos de plantas: girasoles y margaritas. El número de girasoles que tiene es 120 y el número de margaritas es 180. El agricultor quiere agrupar sus plantas en macetas de tal manera que en cada maceta haya el mismo número de girasoles y el mismo número de margaritas, sin que sobren plantas.
1. ¿Cuál es el mayor número de macetas que puede preparar?
2. ¿Cuántos girasoles y margaritas habrá en cada maceta?
Utiliza el MCD (máximo común divisor) para resolver el problema.
Solución: Respuesta:
1. El mayor número de macetas que puede preparar es 60.
2. En cada maceta habrá 2 girasoles y 3 margaritas.
Explicación:
Para resolver este problema, primero encontramos el máximo común divisor (MCD) de los números de girasoles y margaritas.
Los números que tenemos son:
- Girasoles: 120
- Margaritas: 180
Para calcular el MCD, descomponemos los números en sus factores primos:
- 120: \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- 180: \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
El MCD se obtiene tomando los factores comunes con los menores exponentes:
- Para \(2\), el menor exponente es \(2\) (de 180).
- Para \(3\), el menor exponente es \(1\) (de 120).
- Para \(5\), el menor exponente es \(1\) (común en ambos).
Por lo tanto, el MCD es:
\[
MCD(120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60
\]
Esto significa que el agricultor puede hacer 60 macetas.
Ahora, para encontrar cuántos girasoles y margaritas habrá en cada maceta, dividimos la cantidad total de cada tipo de planta entre el número de macetas:
- Girasoles por maceta:
\[
\frac{120}{60} = 2
\]
- Margaritas por maceta:
\[
\frac{180}{60} = 3
\]
Así que en cada maceta habrá 2 girasoles y 3 margaritas.
Ejercicio 16:Un agricultor tiene dos tipos de plantas: 48 rosales y 36 tulipanes. Quiere agrupar sus plantas en macetas de manera que en cada maceta haya la misma cantidad de rosales y la misma cantidad de tulipanes. ¿Cuál es el número máximo de macetas que puede hacer y cuántos rosales y tulipanes habrá en cada maceta? Utiliza el MCD para resolver el problema.
Solución: Respuesta: El número máximo de macetas que puede hacer es 12. En cada maceta habrá 4 rosales y 3 tulipanes.
Explicación:
Para resolver el problema, primero encontramos el máximo común divisor (MCD) de las cantidades de rosales y tulipanes.
1. Cálculo del MCD:
- Los factores de 48 son: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 \)
- Los factores de 36 son: \( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)
El MCD de 48 y 36 es 12.
2. Número de macetas:
- Número de macetas = MCD = 12.
3. Plantas por maceta:
- Rosales por maceta: \( \frac{48}{12} = 4 \)
- Tulipanes por maceta: \( \frac{36}{12} = 3 \)
Por lo tanto, el agricultor puede hacer 12 macetas con 4 rosales y 3 tulipanes en cada una.
Ejercicio 17:Un agricultor tiene dos tipos de hortalizas en su huerto: zanahorias y lechugas. Si la cantidad de zanahorias que ha cosechado es de 120 y la de lechugas es de 180, responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de la cantidad de zanahorias y lechugas?
2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (MCM) de la cantidad de zanahorias y lechugas?
3. Si el agricultor quiere hacer cajas con la misma cantidad de zanahorias y lechugas en cada una, ¿cuántas cajas podrá hacer como máximo y cuántas hortalizas quedarán fuera?
Solución: Respuesta:
1. El máximo común divisor (MCD) de la cantidad de zanahorias (120) y lechugas (180) es 60.
2. El mínimo común múltiplo (MCM) de la cantidad de zanahorias (120) y lechugas (180) es 360.
3. El agricultor podrá hacer un máximo de 3 cajas, y quedarán 0 hortalizas fuera.
Explicación:
1. Para calcular el MCD de 120 y 180, se descomponen los números en factores primos:
- 120 = \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- 180 = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
El MCD se obtiene tomando los menores exponentes de los factores comunes:
- MCD = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \).
2. Para calcular el MCM de 120 y 180, se toman los mayores exponentes de todos los factores:
- MCM = \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 360 \).
3. Para hacer las cajas, se utiliza el MCD:
- Cada caja contendrá 60 hortalizas (60 zanahorias y 60 lechugas).
- Total de zanahorias = \( \frac{120}{60} = 2 \) cajas.
- Total de lechugas = \( \frac{180}{60} = 3 \) cajas.
- El número máximo de cajas que se pueden hacer es 3, utilizando 180 lechugas y 120 zanahorias, por lo que no quedará ninguna hortaliza fuera.
Ejercicio 18:Un agricultor tiene dos tipos de cultivos: maíz y trigo. La producción de maíz se puede cosechar cada \(24\) días, mientras que la producción de trigo se cosecha cada \(36\) días. Si hoy el agricultor cosecha ambos cultivos, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelva a cosechar ambos cultivos en el mismo día? Calcula el mínimo común múltiplo (MCM) de \(24\) y \(36\) para encontrar la respuesta.
Solución: Respuesta: \(72\) días.
Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de \(24\) y \(36\), primero descomponemos ambos números en factores primos:
- \(24 = 2^3 \times 3^1\)
- \(36 = 2^2 \times 3^2\)
Luego, tomamos el mayor exponente de cada factor primo:
- Para \(2\): el mayor exponente es \(3\) (de \(24\)).
- Para \(3\): el mayor exponente es \(2\) (de \(36\)).
Por lo tanto, el MCM se calcula como:
\[
\text{MCM} = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72
\]
Así, el agricultor volverá a cosechar ambos cultivos en \(72\) días.
Ejercicio 19:Un agricultor tiene dos tipos de cultivos: maíz y trigo. La cantidad de maíz que cultiva es de 120 plantas y la cantidad de trigo es de 150 plantas.
1. ¿Cuál es el máximo común divisor (MCD) de la cantidad de plantas de maíz y trigo que cultiva el agricultor?
2. Si decide agrupar las plantas de cada tipo en hileras iguales, ¿cuál es el número máximo de plantas que puede haber en cada hilera manteniendo la misma cantidad de plantas por hilera para ambos cultivos?
3. Si el agricultor decide sembrar 30 plantas más de maíz y 45 plantas más de trigo, ¿cuál será el nuevo MCD de la cantidad total de plantas de ambos cultivos?
Calcula y explica cada uno de los pasos que utilizaste para llegar a la solución.
Solución: Respuesta:
1. MCD de 120 y 150: 30
2. Número máximo de plantas por hilera: 30
3. Nuevo MCD de 150 y 195: 15
---
Explicación:
1. Cálculo del MCD de 120 y 150:
Para encontrar el MCD, podemos utilizar la descomposición en factores primos:
- 120 = \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- 150 = \( 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \)
Ahora, tomamos los factores comunes con el menor exponente:
- \( 2^{\min(3,1)} = 2^1 \)
- \( 3^{\min(1,1)} = 3^1 \)
- \( 5^{\min(1,2)} = 5^1 \)
Por lo tanto, el MCD es:
\[
MCD = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30
\]
2. Agrupación en hileras iguales:
El número máximo de plantas que puede haber en cada hilera para ambos cultivos es el MCD que ya hemos calculado, que es 30. Esto significa que el agricultor puede agrupar las plantas de maíz y trigo en hileras de 30 plantas cada una.
3. Nuevo MCD después de añadir plantas:
Ahora, si el agricultor añade 30 plantas de maíz y 45 plantas de trigo, las nuevas cantidades serán:
- Maíz: \( 120 + 30 = 150 \)
- Trigo: \( 150 + 45 = 195 \)
Ahora calculamos el MCD de 150 y 195:
- 150 = \( 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \)
- 195 = \( 3^1 \times 5^1 \times 13^1 \)
Los factores comunes son:
- \( 3^{\min(1,1)} = 3^1 \)
- \( 5^{\min(2,1)} = 5^1 \)
El MCD es:
\[
MCD = 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15
\]
Así, el nuevo MCD de la cantidad total de plantas de ambos cultivos es 15.
Ejercicio 20:Un agricultor tiene dos tipos de cultivos: maíz y trigo. En total tiene 120 plantas de maíz y 90 plantas de trigo.
a) ¿Cuál es el máximo número de filas en las que puede organizar ambos cultivos de manera que en cada fila haya el mismo número de plantas de maíz y de trigo?
b) ¿Cuál es el mínimo número de plantas que debe quitar para que el número de plantas de maíz y de trigo sea el mismo?
Utiliza el MCD y el MCM para resolver los apartados.
Solución: Respuesta:
a) El máximo número de filas en las que puede organizar ambos cultivos es 30.
b) El mínimo número de plantas que debe quitar para que el número de plantas de maíz y de trigo sea el mismo es 30.
Explicación:
a) Para encontrar el máximo número de filas en las que se pueden organizar ambos cultivos, debemos calcular el máximo común divisor (MCD) de las plantas de maíz y trigo.
\[
MCD(120, 90)
\]
Para calcular el MCD, descomponemos ambos números en factores primos:
- \(120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)
- \(90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1\)
El MCD se obtiene tomando el menor exponente de cada factor primo común:
- Para el 2: \(min(3, 1) = 1\)
- Para el 3: \(min(1, 2) = 1\)
- Para el 5: \(min(1, 1) = 1\)
Entonces,
\[
MCD(120, 90) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30
\]
Por lo tanto, el máximo número de filas es 30.
b) Para que el número de plantas de maíz y de trigo sea el mismo, debemos calcular el mínimo común múltiplo (MCM) de ambos cultivos y luego determinar la diferencia de plantas que se debe quitar.
\[
MCM(120, 90)
\]
Utilizando la misma descomposición en factores primos:
\[
MCM(120, 90) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 360
\]
Ahora, para hacer que el número de plantas de maíz y trigo sea igual, debemos igualar el número a \(MCM\) y calcular cuántas plantas debemos quitar.
- Plantas de maíz a quitar: \(120 - (360 - n) = 120 - 360 + n\)
- Plantas de trigo a quitar: \(90 - (360 - m) = 90 - 360 + m\)
Donde \(n\) y \(m\) son las plantas que se mantienen. Para que sean iguales:
\[
n = m
\]
Resolviendo, encontramos que necesitamos quitar 30 plantas de maíz y 30 de trigo para igualar a 90 plantas:
\[
120 - 30 = 90 \quad \text{y} \quad 90 - 0 = 90
\]
Por lo que el mínimo número de plantas que debe quitar es 30.
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En esta sección, te ofrecemos un breve recordatorio sobre los conceptos fundamentales del Mínimo Común Múltiplo (MCM) y el Máximo Común Divisor (MCD), temas esenciales en la asignatura de Matemáticas de 2º ESO. A continuación, se presenta un resumen del temario y algunos puntos clave a tener en cuenta.
Temario
Definición de Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Definición de Máximo Común Divisor (MCD)
Propiedades del MCM y MCD
Cálculo del MCM y MCD mediante factores primos
Cálculo del MCM y MCD mediante el algoritmo de Euclides
Aplicaciones del MCM y MCD en problemas matemáticos
Recordatorio Teórico
El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Para calcular el MCM, se pueden usar los factores primos: multiplicamos todos los factores primos de cada número, tomando el mayor exponente que aparece en cada uno.
Por otro lado, el Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados. Para encontrar el MCD también se utilizan los factores primos, pero en este caso, se toma el menor exponente de cada factor común a todos los números.
Recuerda que ambos conceptos son importantes en la resolución de problemas matemáticos, especialmente cuando trabajas con fracciones, divisiones y múltiplos.
Consejos Importantes
Utiliza la descomposición en factores primos para facilitar el cálculo del MCM y MCD.
Practica con ejercicios variados para afianzar tu comprensión de estos conceptos.
Recuerda que el MCM es útil para encontrar denominadores comunes en fracciones, mientras que el MCD es clave para simplificarlas.
Si tienes dudas mientras realizas los ejercicios, te recomendamos que consultes el temario o hables con tu profesor para obtener aclaraciones. ¡Sigue practicando y mejorando tus habilidades matemáticas!